瑞利熵與拉普拉斯矩陣

瑞利熵

R (M, x) = \frac{x^{*} M x}{x^{*} x}

$R(M,x)=\frac{x^*Mx}{x^*x}$

此處的 $x$

x

$x$ 是一個向量，矩陣

M

$M$ 是一個Hermitian矩陣，即該矩陣共軛對稱，

M_{i j} = M_{j i}^{*}

$M_{ij}=M_{ji}^*$ ，如果

M

$M$ 是一個實矩陣，則有

M^{T} = M

$M^T=M$ 。

瑞利熵的特點是：最大值和最小值分別等於矩陣 $M$ 最大和最小的特徵值。

λ_{m i n} ⩽ \frac{x^{*} M x}{x^{*} x} ⩽ λ_{m a x}

$\lambda_{min}\leqslant \frac{x^*Mx}{x^*x} \leqslant \lambda_{max}$

可以用拉格朗日乘子法證明：

\begin{matrix} max R (M, x) = max x^{*} M x \\ s . t . & x^{*} x = c \end{matrix}

$\matrix{ & \max{R(M,x)}=\max{x^* Mx}\\s.t. & x^* x=c}$

J (x) = x^{*} M x - λ (x^{*} x - c) \frac{\partial J (x)}{\partial x} = 0 \to M x = λ x R (M, x) = λ

$J(x)=x^*Mx-\lambda(x^*x-c)\\ \frac{\partial J(x)}{\partial x}=0\rightarrow Mx=\lambda x\\ R(M,x)=\lambda$

從上面的證明可以看出：

$R(M,x)=\lambda$ ，瑞利熵的值就是M的特徵值，最值一致
$x$ 的解正是 $R(M,x)$ 所對應的關於 $M$ 的特徵向量

廣義瑞利熵

R (M, N, x) = \frac{x^{*} M x}{x^{*} N x}

$R(M,N,x)=\frac{x^*Mx}{x^*Nx}$

令 $y=N^{-1/2}x$

x^{*} M x = y^{*} (N^{- 1 / 2})^{*} M N^{- 1 / 2} y x^{*} N x = y^{*} (N^{- 1 / 2})^{*} N N^{- 1 / 2} y = y^{*} y

$x^*Mx=y^*(N^{-1/2})^*MN^{-1/2}y\\x^*Nx=y^*(N^{-1/2})^*NN^{-1/2}y=y^*y$

R (M, N, y) = \frac{y^{*} N^{- 1 / 2} M N^{- 1 / 2} y}{y^{*} y}

$R(M,N,y)=\frac{y^*N^{-1/2}MN^{-1/2}y}{y^*y}$

根據瑞利熵的性質， $R(M,N,y)$ 實際上是矩陣 $N^{- 1 / 2} M N^{- 1 / 2}$

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