正交陣

         概念：若n階矩陣A滿足A^TA=I，則A為正交矩陣，簡稱正交陣。

                  A^TA=I解釋的話就是：

                            “A的第i行”*“A的第i列”= 1

                            “A的第i行”*“A的非第i列”= 0。

         其他：

                   1，A是正交陣，x為向量，則A·x稱作正交變換；

                            正交變換不改變向量長度。

                            如：

                                     A=

                                     B= (x₀, y₀)，PS：B是對映到x，y座標軸上的一個點

                            於是A·B^T的結果就是讓B這個點在座標上逆時針旋轉°。

                   2，A、B都是n階正交陣，那麼A*B是正交陣。

特徵值和特徵向量

         定義：A是n階矩陣，若數λ和n維非0列向量x滿足Ax=λx，那麼，數λ稱為A的特徵值，x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。

         解釋：

                   Ax=λx意味著：Ax正好是列向量x的λ倍，即：向量x乘上矩陣A的結果僅僅是改變向量x的長度。那麼，這個x和A一定有著某種聯絡（因為x被A作用之後x的方向壓根就沒變），就好像很多故事中將保護公主的人稱為騎士一樣(公主和騎士是有聯絡的)，那這裡就把這個x稱作A的特徵向量

                   OK，等號左邊至少可以理解了吧，然後為了描述等號右邊，就把λ稱作特徵向量x的特徵值。

         PS：上學時我們經常這樣求解特徵值和特徵向量：

                   根據定義，立刻得到(A-λI)x= 0，令關於λ 的多項式|A-λI|為0，方程|A-λI|=0的根為A的特徵值；將根λ帶入方程組(A-λI)x = 0 ，求得到的非零解，即λ對應的特徵向量。

                   不過，雖然這樣能解，但這樣沒啥實際價值。實踐中一般使用Q·R分解。

         性質：

                   1，設n階矩陣A=(a_ij

                            a，λ₁+ λ₂ + ... + λ_n =a₁₁ + a₂₂ + … + a_nn

即：矩陣A的主對角線的元素的和 = 特徵值的和

                                     於是乎A的主對角線一定是十分重要的，那麼我們就給它一個稱呼吧，於是我們把矩陣A主行列式的元素和，稱作矩陣A的跡。

                            b，λ₁λ₂… λ_n =|A|

                                     即：特徵值的乘積 = A的行列式

                   2，已知λ是方針A的特徵值，則

                            a，λ²是A²的特徵值

                            b，A可逆時，λ^-1是A^-1的特徵值

                   3，如果A⁰= I，則λ^k是A^k的特徵值，k∈R。

                   4，設λ1 ,λ2 ,...,λm 是方陣A的m個特徵值，p1 ,p2,...,pm 是依次與之對應的特徵向量，若λ1 ,λ2 ,...,λm 各不相等，則p1 ,p2 ,...,pm 線性無關。

                            即：不同特徵值對應的特徵向量線性無關。

                   5，實對稱陣不同特徵值的特徵向量正交

                   6，對稱矩陣A的特徵向量是x，則x^TAx是一個對角陣。

                            PS：如果A不是對稱陣，則x^-1Ax是對角陣。

         最終結論：

                   設A為n階對稱陣，則必有正交陣P，使得

                            P^-1AP= P^TAP = Λ

                   Λ是以A的n個特徵值為對角元的對角陣。

                   該變換稱為“合同變換”，A和Λ互為合同矩陣。