常用座標系和投影分析,GIS的核心基礎-地球座標系與投影方式的理解(關於北京54,西安80,WGS84;高斯,蘭勃特,墨卡託投影)

   
      
 
 
  
                          
               

一、地球模型

地球是一個近似橢球體,測繪時用橢球模型逼近,這個模型叫做參考橢球,如下圖:


赤道是一個半徑為a的近似圓,任一圈經線是一個半徑為b的近似圓。a稱為橢球的長軸半徑,b稱為橢球的短軸半徑。

a6378.137千米,b≈6356.752千米。(實際上,a也不是恆定的,最長處和最短處相差72米,b的最長處和最短處相差42米,算很小了)

地球參考橢球基本引數:

長軸:a

短軸:b

扁率:α=(a-b) / a

第一偏心率:e=√(a2-b2) / a

第二偏心率:e'=√(a2-b2) / b

這幾個引數定了,參考橢球的數學模型就定了。

什麼是大地座標系?

大地座標系是大地測量中以參考橢球為基準面建立起來的座標系。地面點的位置用大地經度、大地緯度和大地高度表示:(L, B, H)。

空間直角座標系是以參考橢球中心為原點,以原點到0度經線與赤道交點的射線為x軸,原點到90度經線與赤道交點的射線為y軸,以地球旋轉軸向北為z軸:(x, y, z)

共同點:顯然,這兩種座標系都必須基於一個參考橢球。

不同點:大地座標系以面為基準,所以還需要確定一個標準海平面。而空間直角座標系則以一個點為基準,所以還需要確定一箇中心點。

只要確定了橢球基本引數,則大地座標系和空間直角座標系就相對確定了,只是兩種不同的表達而矣,這兩個座標系的點是一一對應的。

二、北京54,西安80,WGS84

網上的解釋大都互相複製,語焉不詳,隔靴搔癢,說不清楚本質區別。為什麼在同一點三者算出來的經緯度不同?難道只是不認同對方的測量精度嗎?為什麼WGS84選地球質心作原點,而西安80選地表上的一個點作原點?中國選的大地原點有什麼作用?為什麼選在涇陽縣永樂鎮?既然作為原點,為什麼經緯度不是0?下面是我個人的理解。

首先,三者採用了不同的參考橢球建立模型,即長短軸扁率這組引數是不同的。

北京54: 長軸6378245m,短軸6356863,扁率1/298.2997381

西安80: 長軸6378140m,短軸6356755,扁率1/298.25722101

WGS84:長軸6378137.000m,短軸6356752.314,扁率1/298.257223563,第一偏心率0.081819790992,第二偏心率0.082095040121

這些引數不同,決定了橢球模型的幾何中心是不同的。那麼為什麼這三種座標系的引數有這麼大差別呢?除了測量精度不同之外,還有一個原因,就是側重點不一樣。

WGS84是面向全球的,所以它儘量逼近整個地球表面,優點是範圍大,缺點是區域性不夠精確。

北京54用的是前蘇聯的引數,它是面向蘇聯的,所以它在前蘇聯區域這個曲面儘量逼近,而其它國家地區偏多少它不管。它以蘇聯的普爾科沃為中心,離那越遠,誤差就越大。

西安80是面向中國的,所以它在中國區域這個曲面儘量逼近,而其它國家地區偏多少它不管。而且這個逼近是以西安附近的大地原點為中心的,也就是說,在西安大地原點處,模型和真實地表參考海平面重合,誤差為0,而離大地原點越遠的地方,誤差越大。所謂的大地原點就是這麼來的,它是人為去定的,而不是必須在那裡,它要儘量放在中國的中間,使得總的誤差儘量小而分佈均勻。然後,我國在自已境內進行的建築,測繪,勘探什麼的所繪製的圖,都以這個大地原點為基準,去建立各種用途的地表座標系,就能統一起來了。

所以在中國區域,WGS84模型是沒有西安80模型那麼準確。而用西安80模型來算美國的點,則更不準確。現在更新為2000國家大地座標系,引數比西安80更精確了,而道理是一樣的。

都說WGS84是質心座標系,北京54,西安80是參心座標系,何謂質心?何謂參心?

質心好理解,就是地球體的質量中心,WGS84座標系面向全球定位,所以它所建立的模型是最中庸的,沒有偏向任何一個地區,橢球體模型的幾何中心與地球質心重合時,模型就會最接近整個地球。

而北京54和西安80側重於區域性的精確性,而捨棄整體的精確性,當橢球模型(西安80)在中國區域最精確時,它的幾何中心肯定不是地球質心,而在別的地方。所以這個幾何中心稱之為參考中心,簡稱參心。

地球上一個點經緯度,是基於參考橢球來算的,所以,同一個地方,用北京54,西安80,WGS84算出來的經緯度是三個不一樣的值。由於GPS用的是WGS84,所以我們手機看到的是WGS84座標系的經緯度。

三、地圖在平面上的投影

我們的地圖,總得畫在紙上,在顯示器上吧,不然到處拎著地球儀?地球上的點是用經緯度表示的,緯度越高的地方,1度的經度的距離就越短。那麼,問題來了,地球表面是曲面,而且經緯度與長度距離並不是簡單的比例關係,怎樣畫到平面上?答案是,投影演算法。好,問題又來了,投影演算法哪家強?

1.高斯-克呂格投影

假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切於某一條經線上,按照等角條件將中央經線東、西各3°或1.5°經線範圍內的經緯線投影到橢圓柱面上,然後將橢圓柱面展開成平面而成的。




高斯克呂格投影是分帶投影的,主要分有3度帶和6度帶兩種。3度帶就是經度每3度一個帶,全球切成120個帶;6度帶就是經度每6度一個帶,全球切成60個帶。不同的帶之間各有各的原點自成xy座標系,不能用本帶的xy座標系去計算其它帶的,因為原點都不同了。
高斯克呂格投影的變形分析:
①中央經線上無變形,滿足投影后長度比不變的條件;
②除中央經線上長度比為1以外,其它任何點長度比均大於1;
③在同一條緯線上,離中央經線越遠則變形越大,最大值位於投影帶邊緣。
④在同一條經線上,緯度越低變形越大,最大值位於赤道上。
等角投影,無角度變形,面積比為長度比的平方。
⑥長度比的等變形線平行於中央軸子午線。
優點:長度和麵積變形是最小的(比起其它投影)。
缺點:需要分帶,相鄰的帶不能拼接(上尖下寬怎麼接?好難個),導致覆蓋範圍小。
所以高斯投影適用於小地區的地圖,一個帶就能覆蓋的地區。
2.蘭勃特投影
有兩種:
①等角圓錐投影。

設想用一個正圓錐切於或割於球面,應用等角條件將地球面投影到圓錐面上,然後沿一母線展開成平面。投影后緯線為同心圓圓弧,經線為同心圓半徑。沒有角度變形,經線長度比和緯線長度比相等。適於製作沿緯線分佈的中緯度地區中、小比例尺地圖。市面上的中國地圖應該就是用這種投影的。
②等積方位投影。

設想球面與平面切於一點,按等積條件將經緯線投影於平面而成。按投影面與地球面的相對位置,分為正軸、橫軸和斜軸3種。在正軸投影中,緯線為同心圓,其間隔由投影中心向外逐漸縮小,經線為同心圓半徑。在橫軸投影中,中央經線和赤道為相互垂直的直線,其他經線和緯線分別為對稱於中央經線和赤道的曲線。在斜軸投影中,中央經線為直線,其他經線為對稱於中央經線的曲線。該投影無面積變形,角度和長度變形由投影中心向周圍增大。橫軸投影和斜軸投影較常應用,東西半球圖和分洲圖多用此投影。
3.墨卡託投影

假設地球被圍在一中空的圓柱裡,其基準緯線與圓柱相切(赤道)接觸,然後再假想地球中心有一盞燈,把球面上的圖形投影到圓柱體上,再把圓柱體展開,這就是一幅選定基準緯線上的“墨卡託投影”繪製出的地圖。
優點:沒有角度變形,由每一點向各方向的長度比相等,它的經緯線都是平行直線,且相交成直角。
缺點:長度和麵積變形明顯,緯線間隔從基準緯線處向兩極逐漸增大。但因為它具有各個方向均等擴大的特性,保持了方向和相互位置關係的正確。
墨卡託投影地圖常用作航海圖和航空圖,如果循著墨卡託投影圖上兩點間的直線航行,方向不變可以一直到達目的地,因此它對船艦在航行中定位、確定航向都具有有利條件,給航海者帶來很大方便。
谷歌地圖,百度地圖用的就是墨卡託投影,且以赤道作基準緯線。
           
               
                     
 
                          
               

一、地球模型

地球是一個近似橢球體,測繪時用橢球模型逼近,這個模型叫做參考橢球,如下圖:


赤道是一個半徑為a的近似圓,任一圈經線是一個半徑為b的近似圓。a稱為橢球的長軸半徑,b稱為橢球的短軸半徑。

a6378.137千米,b≈6356.752千米。(實際上,a也不是恆定的,最長處和最短處相差72米,b的最長處和最短處相差42米,算很小了)

地球參考橢球基本引數:

長軸:a

短軸:b

扁率:α=(a-b) / a

第一偏心率:e=√(a2-b2) / a

第二偏心率:e'=√(a2-b2) / b

這幾個引數定了,參考橢球的數學模型就定了。

什麼是大地座標系?

大地座標系是大地測量中以參考橢球為基準面建立起來的座標系。地面點的位置用大地經度、大地緯度和大地高度表示:(L, B, H)。

空間直角座標系是以參考橢球中心為原點,以原點到0度經線與赤道交點的射線為x軸,原點到90度經線與赤道交點的射線為y軸,以地球旋轉軸向北為z軸:(x, y, z)

共同點:顯然,這兩種座標系都必須基於一個參考橢球。

不同點:大地座標系以面為基準,所以還需要確定一個標準海平面。而空間直角座標系則以一個點為基準,所以還需要確定一箇中心點。

只要確定了橢球基本引數,則大地座標系和空間直角座標系就相對確定了,只是兩種不同的表達而矣,這兩個座標系的點是一一對應的。

二、北京54,西安80,WGS84

網上的解釋大都互相複製,語焉不詳,隔靴搔癢,說不清楚本質區別。為什麼在同一點三者算出來的經緯度不同?難道只是不認同對方的測量精度嗎?為什麼WGS84選地球質心作原點,而西安80選地表上的一個點作原點?中國選的大地原點有什麼作用?為什麼選在涇陽縣永樂鎮?既然作為原點,為什麼經緯度不是0?下面是我個人的理解。

首先,三者採用了不同的參考橢球建立模型,即長短軸扁率這組引數是不同的。

北京54: 長軸6378245m,短軸6356863,扁率1/298.2997381

西安80: 長軸6378140m,短軸6356755,扁率1/298.25722101

WGS84:長軸6378137.000m,短軸6356752.314,扁率1/298.257223563,第一偏心率0.081819790992,第二偏心率0.082095040121

這些引數不同,決定了橢球模型的幾何中心是不同的。那麼為什麼這三種座標系的引數有這麼大差別呢?除了測量精度不同之外,還有一個原因,就是側重點不一樣。

WGS84是面向全球的,所以它儘量逼近整個地球表面,優點是範圍大,缺點是區域性不夠精確。

北京54用的是前蘇聯的引數,它是面向蘇聯的,所以它在前蘇聯區域這個曲面儘量逼近,而其它國家地區偏多少它不管。它以蘇聯的普爾科沃為中心,離那越遠,誤差就越大。

西安80是面向中國的,所以它在中國區域這個曲面儘量逼近,而其它國家地區偏多少它不管。而且這個逼近是以西安附近的大地原點為中心的,也就是說,在西安大地原點處,模型和真實地表參考海平面重合,誤差為0,而離大地原點越遠的地方,誤差越大。所謂的大地原點就是這麼來的,它是人為去定的,而不是必須在那裡,它要儘量放在中國的中間,使得總的誤差儘量小而分佈均勻。然後,我國在自已境內進行的建築,測繪,勘探什麼的所繪製的圖,都以這個大地原點為基準,去建立各種用途的地表座標系,就能統一起來了。

所以在中國區域,WGS84模型是沒有西安80模型那麼準確。而用西安80模型來算美國的點,則更不準確。現在更新為2000國家大地座標系,引數比西安80更精確了,而道理是一樣的。

都說WGS84是質心座標系,北京54,西安80是參心座標系,何謂質心?何謂參心?

質心好理解,就是地球體的質量中心,WGS84座標系面向全球定位,所以它所建立的模型是最中庸的,沒有偏向任何一個地區,橢球體模型的幾何中心與地球質心重合時,模型就會最接近整個地球。

而北京54和西安80側重於區域性的精確性,而捨棄整體的精確性,當橢球模型(西安80)在中國區域最精確時,它的幾何中心肯定不是地球質心,而在別的地方。所以這個幾何中心稱之為參考中心,簡稱參心。

地球上一個點經緯度,是基於參考橢球來算的,所以,同一個地方,用北京54,西安80,WGS84算出來的經緯度是三個不一樣的值。由於GPS用的是WGS84,所以我們手機看到的是WGS84座標系的經緯度。

三、地圖在平面上的投影

我們的地圖,總得畫在紙上,在顯示器上吧,不然到處拎著地球儀?地球上的點是用經緯度表示的,緯度越高的地方,1度的經度的距離就越短。那麼,問題來了,地球表面是曲面,而且經緯度與長度距離並不是簡單的比例關係,怎樣畫到平面上?答案是,投影演算法。好,問題又來了,投影演算法哪家強?

1.高斯-克呂格投影

假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切於某一條經線上,按照等角條件將中央經線東、西各3°或1.5°經線範圍內的經緯線投影到橢圓柱面上,然後將橢圓柱面展開成平面而成的。




高斯克呂格投影是分帶投影的,主要分有3度帶和6度帶兩種。3度帶就是經度每3度一個帶,全球切成120個帶;6度帶就是經度每6度一個帶,全球切成60個帶。不同的帶之間各有各的原點自成xy座標系,不能用本帶的xy座標系去計算其它帶的,因為原點都不同了。
高斯克呂格投影的變形分析:
①中央經線上無變形,滿足投影后長度比不變的條件;
②除中央經線上長度比為1以外,其它任何點長度比均大於1;
③在同一條緯線上,離中央經線越遠則變形越大,最大值位於投影帶邊緣。
④在同一條經線上,緯度越低變形越大,最大值位於赤道上。
等角投影,無角度變形,面積比為長度比的平方。
⑥長度比的等變形線平行於中央軸子午線。
優點:長度和麵積變形是最小的(比起其它投影)。
缺點:需要分帶,相鄰的帶不能拼接(上尖下寬怎麼接?好難個),導致覆蓋範圍小。
所以高斯投影適用於小地區的地圖,一個帶就能覆蓋的地區。
2.蘭勃特投影
有兩種:
①等角圓錐投影。

設想用一個正圓錐切於或割於球面,應用等角條件將地球面投影到圓錐面上,然後沿一母線展開成平面。投影后緯線為同心圓圓弧,經線為同心圓半徑。沒有角度變形,經線長度比和緯線長度比相等。適於製作沿緯線分佈的中緯度地區中、小比例尺地圖。市面上的中國地圖應該就是用這種投影的。
②等積方位投影。

設想球面與平面切於一點,按等積條件將經緯線投影於平面而成。按投影面與地球面的相對位置,分為正軸、橫軸和斜軸3種。在正軸投影中,緯線為同心圓,其間隔由投影中心向外逐漸縮小,經線為同心圓半徑。在橫軸投影中,中央經線和赤道為相互垂直的直線,其他經線和緯線分別為對稱於中央經線和赤道的曲線。在斜軸投影中,中央經線為直線,其他經線為對稱於中央經線的曲線。該投影無面積變形,角度和長度變形由投影中心向周圍增大。橫軸投影和斜軸投影較常應用,東西半球圖和分洲圖多用此投影。
3.墨卡託投影

假設地球被圍在一中空的圓柱裡,其基準緯線與圓柱相切(赤道)接觸,然後再假想地球中心有一盞燈,把球面上的圖形投影到圓柱體上,再把圓柱體展開,這就是一幅選定基準緯線上的“墨卡託投影”繪製出的地圖。
優點:沒有角度變形,由每一點向各方向的長度比相等,它的經緯線都是平行直線,且相交成直角。
缺點:長度和麵積變形明顯,緯線間隔從基準緯線處向兩極逐漸增大。但因為它具有各個方向均等擴大的特性,保持了方向和相互位置關係的正確。
墨卡託投影地圖常用作航海圖和航空圖,如果循著墨卡託投影圖上兩點間的直線航行,方向不變可以一直到達目的地,因此它對船艦在航行中定位、確定航向都具有有利條件,給航海者帶來很大方便。
谷歌地圖,百度地圖用的就是墨卡託投影,且以赤道作基準緯線。