前言

　　直方圖均衡化是最基礎的影象處理方法之一，也是本人接觸影象處理時最先接觸到的演算法。演算法很簡單，但是卻不得不說非常的巧妙。本文將從方法的數學基礎出發講解直方圖均衡化背後的數學原理，並提供matlab實現程式碼。

直方圖均衡化

　　影象灰度分佈的直方圖，顧名思義，就是影象中灰度值數目統計的直方圖。直方圖均衡化處理是將原圖的灰度分佈直方圖中灰度分佈密集的部分擴散成在全域性範圍內的均勻分佈。這樣就增加了畫素灰度值的動態範圍，從而達到增強影象整體對比度的效果。直方圖均衡化是一種灰度變換的方法，其對影象進行非線性的拉伸，重新分配畫素值。如下圖所示；

　

圖1 左圖是均衡化之前的影象灰度分佈直方圖，右圖是理想情況下均衡化之後的灰度分佈直方圖。

原理

　　影象變換是需要找到一種合適的變換關係的，直方圖均衡化也不例外。為了方便表示，我們假設，影象灰度區間為[0,1]；對於區間內的任意畫素值，我們需要進行如下變換。

S=T(r),0≤r≤1；$$S=T\left(r\right),0\le r\le 1；$$
　　上述式子應該滿足兩個條件；
　　　　1. 在區間[0,1]內，T(r)$T\left(r\right)$單調遞增；
　　　　2. 應該有0≤T(r)≤1$0\le T\left(r\right)\le 1$。
　　同樣的，反變換r=T−1(s)$r=T^{-1}\left(s\right)$，也應該服從上面兩個條件。條件1 保證了保證原圖各灰度級在變換後仍保持從黑 到白（或從白到黑）的排列次序。條件2 保證變換前後灰度值動態範圍的一致性。
　　假設原圖r概率密度為

Pr(r)$P_r\left(r\right)$，變換後的概率密度為Ps(s)$P_s\left(s\right)$。由於影象灰度總值時不變的，那麼就有以下公式；
∫r0Pr(r)dr=∫s0Ps(s)ds；$${\int }_0^r{P}_r\left(r\right)\mathrm{d}r={\int }_0^s{P}_s\left(s\right)\mathrm{d}s；$$
　　又由圖1中的公式可知
Ps(s)=1；$$P_s\left(s\right)=1；$$
　　則帶入上述式子中，有
∫r0Pr(r)dr=∫s0Ps(s)ds=∫s01ds=s=T(r)；$${\int }_0^r{P}_r\left(r\right)\mathrm{d}r={\int }_0^s{P}_s\left(s\right)\mathrm{d}s={\int }_0^{s}1\mathrm{d}s=s=T\left(r\right)；$$
　　所以，我們所要找的變換關係就找到了。
∫r0Pr(r)dr=T(r)；$${\int }_0^r{P}_r\left(r\right)\mathrm{d}r=T\left(r\right)；$$
　　這個式子說明了，變換後的影象的灰度值時根據原圖中該點的灰度值的概率分佈函式得到的。

離散影象中的變換關係

　　在離散的影象中，假設影象總共有N個畫素點，總共有L個畫素級。影象中灰度級為k的畫素點的數目為nk$n_k$。則有如下關係；

Pr(rk)=nkN；$$P_r\left(r_k\right)=\frac{n_k}{N}；$$
　　則函式T(r)$T\left(r\right)$可以表示成如下式子；
T(rk)=∑j=0kPr(rj)=∑j=0knkN0≤rj≤1,k=0,1⋯L−1;$$T\left(r^k\right)=\sum _{j=0}^k{P}_r\left(r_j\right)=\sum _{j=0}^k\frac{n_k}{N}0\le r_j\le 1,k=0,1\cdots L-1;$$

　
圖2 離散的影象的均衡化

　　假如有一張八位的影象，影象中一點的灰度為k$k$，那麼在經過變換後，灰度應該為；