邊緣檢測的改進：

一、邊緣檢測方法是以使用較小的算則為基礎的，

Marr和Hildreth證明了：（1）灰度變化與影象尺寸無關，因此他們的檢測要求使用不同尺寸的運算元；

（2）灰度的突然變化會在一階導數中引起波峰或波谷，或在二階導數中等效地引起零交叉。

根據這些建議，邊緣檢測運算元應有兩個顯著特點：

（1）能計算影象中每一點處的一階導數或二階導數的數字近似的微分運算元；

（2）能被“調整”以便在任何期望的尺寸上起作用。

因此，大的運算元可用與檢測模糊邊緣，小的運算元可用於檢測銳度集中得到精細細節。

二、Marr和Hildreth論證過，滿足這些條件最令人滿意得到運算元是濾波器。,是拉普拉斯運算元，

而G是標準差為（有時也稱為空間常數）的二維高斯函式：

.

經過計算

，

稱為高斯拉普拉斯（LoG）.

LoG的零交叉出現在處，它定義了一箇中心位於原點，

半徑為的圓。

LoG函式有時也稱為墨西哥草帽運算元。一個正的中心項由緊鄰的負區域包圍著，中心項的值以距原點的距離為函式而增大，

而外層區域的值零。係數之和必須為零，從而模板的響應在恆定灰度區域為零。

三、形狀為5*5模板的近似，實際中將使用該模板的負值：

任意尺寸的模板可以通過式子取樣，並標定係數以使係數之和為零來生成。

生成LoG濾波器的一種更有效的方法是以希望的n*n尺寸對式取樣，然後將結果陣列與一個拉普拉斯模板進行卷積。

因為用一個係數之和為零的模板對影象陣列卷積產生一個元素之和也為零的結果，故這種方法自動滿足LoG濾波器係數之和為零的要求。

四、選擇運算元的基礎：

（1）運算元的高斯部分會模糊影象，從而在尺寸上將結構的灰度（包括噪聲）降低到遠小於的程度。

和均值濾波器平滑相比，高斯函式在空間和頻率兩個域平滑影象，因而在原影象中引入不存在的人為干擾（如振鈴）的可能性小。

（2）濾波器的二階部分。

儘管一階導數用於檢測灰度突變，但它們是有方向的運算元。另一方面，拉普拉斯有各項同性（旋轉不變性）。

對任何模板方向的灰度變化有相等的響應，從而避免了使用多個模板去計算影象中任何點處的最強響應。

然後尋找g(x,y)的零交叉來確定f(x,y)中邊緣的位置。

因為這些都是線性操作，故上市也可改下為：

它指出，我們可以先使用一個高斯濾波器平滑影象，然後計算該結果的拉普拉斯。這兩個公式給出了相同的結果。

六、總結

Marr-Hildreth邊緣檢測演算法如下：

1.用一個對 取樣的n*n的高斯低通濾波器對輸入影象濾波。

2.計算由第一步得到的影象的拉普拉斯，如模板

3.找到步驟2所得影象的零交叉。

為確定高斯濾波器的大小，仍採用位於二維高斯表面下其均值在3之間的99.7%。

這樣，一個大小為n*n的LoG離散濾波器，其n值應是大於等於6的最小奇整數。

n小於該值的濾波器模板會“截斷”LoG函式，截斷的程度與模板的大小成反比；

而使用較大的模板對結果的影響不大。

零交叉點的確定：

以P為中心的一個3*3領域，p點處的零交叉意味著至少有兩個相對的領域畫素的符號不同。

有四種要測試的情況：左/右、上/下，和兩個對角。如果g(x,y)的值與一個閾值比較（一種通用的方法），

那麼不僅相對領域的符號不同，數值差的絕對值不能超過這個閾值，這時p稱為一個零交叉畫素。

零交叉是Marr-Hiltreth邊緣檢測方法的關鍵特徵。

此外，Huertas and Medioni提出採用亞畫素精度來尋找零交叉的方法。

設定閾值，可檢測出大多數的主要邊緣，並且濾掉一些“無關”特徵，使用零交叉檢測邊緣可得到一個畫素寬的邊緣。

這一特性簡化了諸如邊緣連線的後續階段的處理。

考慮到灰度變化取決於數值範圍的試試，有時使用各種值來對一幅影象進行濾波。然後，所得零交叉邊緣圖與僅為全部圖形保留的公共邊緣相結合。

這種方法可得到很有用的資訊，但由於其複雜性，實踐中多被用於使用單一濾波器選擇合適的值的設計工具。

使用高斯差分（DoG）來近似LoG是可能的：

視覺系統中，某些“通道”就方向和頻率而論，是有選擇性的。且可以使用：

以1.75：1的標準差比率來建模。

使用1.6：1的比率不僅可以保持這些觀察的基本特性，且可以對LoG提供一個更接近的“工程”近似。

為在LoG和DoG之間進行有意義的比較，對於LOG，值必須按照如下公式選擇，以便LoG和DoG具有相同的零交叉；

當使用這個值時，儘管LoG和DoG的零交叉相同，但它們的幅度大小會不同。可通過標定使得他們相容，以便他們在原點處有相同的值。

LoG和DoG濾波操作均可直接使用一維卷積代替二維卷積來實現，對於一幅大學為M*N的影象和一個大小為n*n的濾波器，這樣做可將每次卷積所需的乘法和加法次數，

從二維卷積的n*nMN成正比，減少到一維卷積的n*MN成正比。

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#include "cv.h" 
#include "highgui.h"
#include "opencv2/imgproc/imgproc.hpp"

using namespace std;
using namespace cv;

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#endif


int main(int argc, char *argv[])
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	// Read image
	Mat src = imread("Fig0222(a)(face).tif", CV_LOAD_IMAGE_COLOR);
	if (!src.data) {
		cout << "Error: read image" << endl;
		return -1;
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	Mat dst,dst1,dst2;
	// CV_EXPORTS_W void Laplacian( InputArray src, OutputArray dst, int ddepth,
	//                          int ksize=1, double scale=1, double delta=0,
	//                          int borderType=BORDER_DEFAULT );
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	imshow("LaplacianGaussian", dst2);
	waitKey();

	return 0;
}

效果圖

參考文獻：《數字影象處理》（第三版）岡薩雷斯