1、題目描述：輸入一個正數n，輸出所有和為n連續正數序列。

例如輸入15，由於1+2+3+4+5=4+5+6=7+8=15，所以輸出3個連續序列1-5、4-6和7-8。

思路：

等差數列是常見數列的一種，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。例如：1,3,5,7,9……1+2(n-1)。等差數列的通項公式為：an=a1+(n-1)d (1)前n項和公式為：或Sn=n(a1+an)/2=[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.。注意： 以上n均屬於正整數。

本題中已知Sn=n, 公比d =1，首項末項都不知道。為了方便得知首項，將遍歷臨時變數取值。

int  sumNBySequence(int Sn)
{
      int a1,an,temp,n;

         for(n = 2; n*n <= 2*Sn; n++ )//等差公式 n(2a1+(n-1)*d)= 2Sn。其中d = 1。n首先是2Sn的因子 
         {
              temp = 2*Sn -n*n+n;//等差公式變形為：2na1+n*n-n = 2Sn  
              if(temp%(2*n) == 0) 
              {
              a1 = temp/(2*n);
              an = a1+ n-1;
              printf("%d,%d",a1,an);
              }
              printf("\n"); //空行表示該n求不得a1和an 
        }
   return 0; 
 }
     int  main ()
     {
         sumNBySequence(30000);
         return 0;
     }
 

演算法設計與分析 王曉東 p22
2、整數劃分問題

將正整數n表示成一系列正整數之和，n=n1+n2+…+nk,其中n1>=n2>=…>=nk>=1，k>=1。正整數n的這種表示稱為正整數n的劃分。正整數n的不同的劃分個數稱為正整數n的劃分數，記作p(n)。例如正整數6有如下11種不同的劃分，所以p(6)=11。
6;
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1.

思路：

      注意6=1+5 和 6=5+1被認為是同一個劃分。在正整數n所有不同的劃分中，將最大加數

       該問題是求出n的所有劃分個數，即f(n, n)。下面我們考慮求f(n,m)的方法;

        根據n和m的關係，考慮以下幾種情況： 

      （1)當n=1時，不論m的值為多少（m>0)，只有一種劃分即{1};

        (2)  當m=1時，不論n的值為多少，只有一種劃分即n個1，{1,1,1,...,1};

        (3)  當n=m時，根據劃分中是否包含n，可以分為兩種情況：

              (a). 劃分中包含n的情況，只有一個即{n}；

              (b). 劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比n小，即n的所有(n-1)劃分。

              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

        (4) 當n<m時，由於劃分中不可能出現負數，因此就相當於f(n,n);

        (5) 但n>m時，根據劃分中是否包含最大值m，可以分為兩種情況：

               (a). 劃分中包含m的情況，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和為n-m，可能再次出現m，因此是（n-m）的m劃分，因此這種劃分

                     個數為f(n-m, m);

               (b). 劃分中不包含m的情況，則劃分中所有值都比m小，即n的(m-1)劃分，個數為f(n,m-1);

              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

          綜合以上情況，我們可以看出，上面的結論具有遞迴定義特徵，其中（1）和（2）屬於迴歸條件，（3）和（4）屬於特殊情況，將會轉換為情況（5）。而情況（5）為通用情況，屬於遞推的方法，其本質主要是通過減小m以達到迴歸條件，從而解決問題。其遞推表示式如下：

         f(n, m)=       1;                                (n=1 or m=1)

                            f(n, n);                         (n<m)

                            1+ f(n, m-1);                (n=m)

                            f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

int Part(int n, int m)

{

    if ((n < 1)||(m < 1))

        return 0;

    if ((n == 1)||(m == 1))

        return 1;

    if (n < m)

        return Part(n, n);

    if (n == m)

        return Part(n, m-1) + 1;

    return Part(n, m-1) + Part(n-m, m);

} 
     int  main ()
     {
         Part(6,6);
     }