一、必勝點和必敗點的概念

       P點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。
       N點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。
必勝點和必敗點的性質：
        1、所有終結點是 必敗點 P 。（我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設）
        2、從任何必勝點N 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 P。
        3、無論如何操作，必敗點P 都只能進入 必勝點 N。
我們研究必勝點和必敗點的目的時間為題進行簡化，有助於我們的分析。通常我們分析必勝點和必敗點都是以終結點進行逆序分析。我們以

hdu 1847 Good Luck in CET-4 Everybody!為例：
當 n = 0 時，顯然為必敗點，因為此時你已經無法進行操作了
當 n = 1 時，因為你一次就可以拿完所有牌，故此時為必勝點
當 n = 2 時，也是一次就可以拿完，故此時為必勝點
當 n = 3 時，要麼就是剩一張要麼剩兩張，無論怎麼取對方都將面對必勝點，故這一點為必敗點。
以此類推，最後你就可以得到；
      n    ：   0    1    2    3    4   5    6 ...
position：  P    N   N    P   N   N   P ...
你發現了什麼沒有，對，他們就是成有規律，使用了 P/N來分析，有沒有覺得問題變簡單了。

二、Sprague-Grundy定理（SG定理）

        遊戲和的SG函式等於各個遊戲SG函式的Nim和。這樣就可以將每一個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim遊戲中的直接應用，因為單堆的Nim遊戲 SG函式滿足 SG(x) = x。

（NIM遊戲：https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45479073）

三、Sprague-Grundy函式（SG函式）

        首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

        對於任意狀態 x ， 定義 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 後繼狀態的SG函式值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 SG(a),SG(b),SG(c)，那麼SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 這樣 集合S 的終態必然是空集，所以SG函式的終態為 SG(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點P時。

四、例題

http://poj.org/problem?id=2975

http://poj.org/problem?id=2960

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/338/I

五、參考文章

https://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45555495

https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6921829.html

https://blog.csdn.net/kamisama123/article/details/77649118