今天考了一道博弈論的題，讓我重新複習一下SG定理吧。
首先通常的Nim遊戲的定義是這樣的：有若干堆石子，每堆石子的數量都是有限的，合法的移動是“選擇一堆石子並拿走若干顆（不能不拿）”，如果輪到某個人時所有的石子堆都已經被拿空了，則判負（因為他此刻沒有任何合法的移動）。

我們知道對於最普通最一般的NIM取石子來說，所有石子個數異或起來如果為0，那麼先手必敗，如果不為0那麼先手必勝。

具體證明如下：

1、最後的遊戲狀態必然是所有石子個數為0，也可以看成所有石子異或為0。
2、假如現在所有石子異或起來為J，我們用Ai表示第i堆石子個數，總共n堆。那麼就有A1^A2^A3……^An=j，我們把j二進位制表示，則A中必有一個數最高位與j的最高位同為1（位數一樣），不然j的那個1是哪來的？然後我們令這個數是Am，所以Am^j必然小於Am，顯然最高位被消掉變小了。我們可以取石子把Am變成Am^j，那麼對於原式就是A1^A2^……^An^j=j^j=0；
3、如果異或起來為0，那麼如果任意拿掉石子，新的異或一定不為0，這個證明十分簡單，留給讀者解決。（偷懶~）

所以當異或不為0的時候，都可以通過操作讓它變成0，所以顯然就有了上面那個結論。

那麼現在我們上重頭。

對於一個大的遊戲，我們把它看成是多個小的遊戲，比如這個取石子，我們把它看成是n個小的遊戲。
現在我們單獨考慮一個遊戲，也就是一堆石子如何解決。
我們規定一個對於集合的操作mex，表示最小的不屬於該集合的非負整數。
舉幾個栗子：mex{0,1,2}=3，mex{1,2,3}=0，mex{0,1,3}=2；

我們再定義SG函式：SG(x)=mex{ SG(y) | y是x的後繼 }。
什麼叫y是x的後繼？我們用普通的NIM遊戲舉個栗子。假如有一堆石子個數為x，普通的NIM遊戲可以取任意個，但不能一個不取，所以x的後繼就是0~x-1，所以y取值0~x-1。
有一個結論就是普通的取石子SG（x）=x。

我們考慮SG函式的性質，我們把遊戲看成一個圖，那麼其實就是一個點在這張圖上面跑，當這個點走到0的時候它就走不動了。SG值為0時，表示當前點為必敗點，因為它下面的SG值都大於0。SG值大於0，當前點是必勝點，因為它可以走到一個點的SG值為0。
所以得到結論SG值為0就是必敗，SG大於0就是必勝。

我們已經考慮完了單個遊戲，那麼我們考慮把遊戲合起來考慮。
合起來的遊戲其實相當於n個點同時在這張圖上面跑。
這裡還有一個SG函式的性質，如果SG（x）=y，那麼它可以走到的後繼的SG值有0-y-1，參考它的定義。這裡是不是有點熟悉？這不就相當於最普通的NIM取石子嗎？可以取任意個，但不能一個不取。我們把SG值看成石子個數，那麼整個遊戲的SG值就是子游戲的SG值異或的和。

至此我們可以得到對於這類題，普遍的解法了。先打出SG函式找規律然後異或就完了。

給出一個找SG函式的模板：（其實就是模擬SG函式的定義）

int f[N],SG[N],S[N];  
void  getSG(int n){  
    int i,j;
    memset(SG,0,sizeof(SG));  
    for(i = 1; i <= n; i++){  
        memset(S,0,sizeof(S));  
        for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)  
            S[SG[i-f[j]]] = 1;    
        for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ 
            SG[i] = j;  
            break;  
        }  
    }  
}  
  

   
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今天考了一道博弈論的題，讓我重新複習一下SG定理吧。
首先通常的Nim遊戲的定義是這樣的：有若干堆石子，每堆石子的數量都是有限的，合法的移動是“選擇一堆石子並拿走若干顆（不能不拿）”，如果輪到某個人時所有的石子堆都已經被拿空了，則判負（因為他此刻沒有任何合法的移動）。