1 時間序列簡介

1.1 定義

時間序列是指將同一統計指標的數值按其發生的時間先後順序排列而成的數列。

1.2 構成要素

時間序列可以分為長期趨勢（trend）、季節變動（seasonal）、迴圈變動（cycling）和隨機波動（irregular）四個部分。

• 長期趨勢（ T ）現象在較長時期內受某種根本性因素作用而形成的總的變動趨勢
• 季節變動（ S ）現象在一年內隨著季節的變化而發生的有規律的週期性變動
• 迴圈變動（ C ）現象以若干年為週期所呈現出的波浪起伏形態的有規律的變動

• 不規則變動（I ）是一種無規律可循的變動，包括嚴格的隨機變動和不規則的突發性影響很大的變動兩種型別

  
  構成要素

2 時間序列模型詳解

2.1 插值法

在講AR模型之前，我們先了解下插值法

插值法又稱“內插法”，是利用函式f (x)在某區間中已知的若干點的函式值，作出適當的特定函式，在區間的其他點上用這特定函式的值作為函式f (x)的近似值，這種方法稱為插值法。如果這特定函式是多項式，就稱它為插值多項式。

插值法也有很多種，我們以簡單為例講下線性插值法:

2.2 AR模型

AR模型(Auto regressive Model)是一種線性預測，即已知N個數據，可由模型推出第N點前面或後面的資料（設推出P點），所以其本質類似於插值，其目的都是為了增加有效資料，只是AR模型是由N點遞推，而插值是由兩點（或少數幾點）去推導多點，所以AR模型要比插值方法效果更好。

AR模型（自迴歸模型），是統計上一種處理時間序列的方法，用同一變數例如x的之前各期，亦即x₁至x_t-1來預測本期x_t的表現，並假設它們為一線性關係。因為這是從迴歸分析中的線性迴歸發展而來，只是不用x預測y，而是用x預測 x（自己）；所以叫做自迴歸。

下面是一個四階自迴歸模型的圖線：

def AR(b, X, mu, sigma):
    """This functions simulates and autoregressive process
    by generating new values given historical values AR coeffs b1...bk + rand"""
    l = min(len(b) - 1, len(X))
    b0 = b[0]

    return b0 + np.dot(b[1:l + 1], X[-l:]) + np.random.normal(mu, sigma)


#Generate random data.
np.random.seed(8)
b = np.array([0.2, 0.04, 0.4, 0.05])
X = np.array([1])
mu = 0
sigma = 1

for i in range(1,1000):
    X = np.append(X, AR(b, X, mu, sigma))

#Plot the AR series.
fig, ax = plt.subplots(figsize = (15, 7))
plt.plot(X)
plt.xlabel("Time values")
plt.ylabel("AR values")
plt.show()
 

2.3 MA模型

MA模型(moving average model)稱為滑動平均模型，MA模型和AR大同小異，它並非是歷史時序值的線性組合而是歷史白噪聲的線性組合。與AR最大的不同之處在於，AR模型中歷史白噪聲的影響是間接影響當前預測值的（通過影響歷史時序值）。

令{e_t}代表未觀測的白噪聲序列，{z_t}是觀測到的時間序列，將線性過程{z_t}表示成現在和過去白噪聲變數的加權線性組合，對於以下形式的序列

稱為滑動平均MA（q）模型。

2.4 ARMA模型

ARMA模型(auto regressive moving average model)自迴歸滑動平均模型，模型參量法高解析度譜分析方法之一。這種方法是研究平穩隨機過程有理譜的典型方法。它比AR模型法與MA模型法有較精確的譜估計及較優良的譜解析度效能，但其引數估算比較繁瑣。

自迴歸移動平均模型由兩部分組成：自迴歸部分和移動平均部分，因此包含兩個階數，可以表示為ARMA(p,q)，p是自迴歸階數，q為移動平均階數，迴歸方程表示為：

從迴歸方程可知，自迴歸移動平均模型綜合了AR和MA兩個模型的優勢，在ARMA模型中，自迴歸過程負責量化當前資料與前期資料之間的關係，移動平均過程負責解決隨機變動項的求解問題，因此，該模型更為有效和常用。

from __future__ import print_function
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.arima_process import arma_generate_sample
np.random.seed(12345)

arparams = np.array([.75, -.25])
maparams = np.array([.65, .35])


arparams = np.r_[1, -arparams]
maparams = np.r_[1, maparams]
nobs = 250
y = arma_generate_sample(arparams, maparams, nobs)


dates = sm.tsa.datetools.dates_from_range('1980m1', length=nobs)
y = pd.Series(y, index=dates)
arma_mod = sm.tsa.ARMA(y, order=(2,2))
arma_res = arma_mod.fit(trend='nc', disp=-1)


print(arma_res.summary())

import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,8))
fig = arma_res.plot_predict(start='1999-06-30', end='2001-05-31', ax=ax)
legend = ax.legend(loc='upper left')
plt.show()
fig.show()

2.5 ARIMA模型

介紹時間序列平穩性時提到過，AR/MA/ARMA模型適用於平穩時間序列的分析，當時間序列存在上升或下降趨勢時，這些模型的分析效果就大打折扣了，這時差分自迴歸移動平均模型也就應運而生。ARIMA模型能夠用於齊次非平穩時間序列的分析，這裡的齊次指的是原本不平穩的時間序列經過d次差分後成為平穩時間序列。

在現實生活中，存在很多非平穩的時間序列，它們的均值和方差是隨著時間的變化而變化的，幸運的是，統計學家們發現，很多時間序列本身雖然不平穩，但是經過差分（相鄰時間點的指標數值相減）之後，形成的新時間序列就變成平穩時間序列了。因此，差分自迴歸移動平均模型寫成ARIMA(p,d,q)。p代表自迴歸階數；d代表差分次數；q代表移動平均階數。在spss軟體中，有時輸出的ARIMA模型包括6個引數：ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)，這是因為如果時間序列中包含季節變動成分的話，需要首先將季節變動分解出來，然後再分別分析移除季節變動後的時間序列和季節變動本身。這裡小寫的p,d,q描述的是移除季節變動成分後的時間序列；大寫的P,D,Q描述的是季節變動成分。兩個部分是相乘的關係。因此，ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)也被稱為複合季節模型。
資料分析技術：時間序列分析的AR/MA/ARMA/ARIMA模型體系

參考資料