這次來講最大流的相關問題，介紹圖上的網路流。網路流具有各種各樣的性質和應用，還有很多的變體，程式設計競賽當中也經常會出現相關題目。

先來看一個例子：

最大傳輸量
網路中有兩臺計算機s和t，現在想從s傳輸到t，該網路中一共有N臺計算機，其中一些計算機之間連有一條單項的通訊電纜，每條通訊電纜都有對應的1秒鐘所能傳輸的最大資料量。當其他計算機之間沒有資料傳輸時，在1s內最多可以傳輸多少資料到t？

把計算機當作頂點，把連結計算機的通訊電纜當作邊，就可以把這個網路當作一個有向圖來考慮了。圖中的每條邊e∈E，都有對應的最大可能的資料傳輸量c(e)，這樣，就可以把問題轉為如下形式。

• 記錄每條邊對應的實際資料傳輸量為f
  (e)
• 傳輸量應該滿足如下限制： 0≤f(e)≤c(e)
• 對任意 v∈{s,t} 都有 Σe∈ξ−(v)f(e)=Σe∈ξ+(v)f(e)，即資料在傳輸過程中既不會增加也不會減少，收到的量和發出去的量必須相等。
• 目標是最大化從s發出的資料量Σe∈ξ+(s)f(e)
  我們稱是的傳輸量最大的f為最大流，而求解最大流的問題稱為最大流問題。此外， 我們稱c為邊的容量，f為邊的流量，s為源點，t為匯點。那麼，這個問題應該如何求解呢？首先考慮下面的貪心演算法。
  1、找一條s到t的只經過f(e)<c(e) 的邊的路徑。
  2、如果不存在滿足條件的路徑，則結束演算法，否則，沿著該路徑儘可能地增加c
  (e)，返回第一步。
  將該演算法運用於樣例，就得到了如下結果：

這樣的結果是正確的嗎？事實上，如果採用以下的方案，可以得到更優的結果。顯然這個貪心演算法是不正確的。

我們觀察兩者之間的流量之差，可以發現，後者的方案在1->2之間少了1Mbps，卻換來了s->2和1->3->5兩處的流量增加。事實上，就是將原先得到的流給退回去，從而得到了新的更大的流，將演算法進行如下改進：
1、只利用滿足f(e)<c(e) 的 e 對應的反向邊 rev(e) ，尋找一條從 s 到 t 的路徑。
2、如果不存在滿足條件的路徑，則結束，否則，沿著該路徑儘可能地增加流，返回第一步。

struct edge{int to,cap,rev;};//終點、容量、反向邊

vector<edge> G[MAXV];//鄰接表
bool used[MAXV]; //dfs時要用到
//向圖中增加一條從s到t，容量為cap的邊
void add_edge(int from,int to,int cap)
{
    edge temp;
    temp.to = to;
    temp.cap = cap;
    temp.rev = G[to].size();
    G[from].push_back(temp);
    temp.to = from;
    temp.cap = 0,
    temp.rev = G[from].size()-1;
    G[to].push_back(temp);

}

int dfs(int v,int t,int f)
{
    if (v==t) return f;
    used[v] = true;
    for(int i = 0; i < G[v].size(); i++)
    {
        edge &e = G[v][i];
        if (!used[e.to] && e.cap > 0)
        {
            int d = dfs(e.to, t, min(f,e.cap));
            if (d>0)
            {
                e.cap -= d;
                G[e.to][e.rev].cap += d;
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int max_flow(int s,int t)
{
    int flow = 0;
    for(;;)
    {
        memset(used,0,sizeof(used));
        int f = dfs(s,t,INF);
        if (f==0) return flow;
        flow += f;
    }
}

記最大流的流量為F,那麼Ford-Fulkerson演算法最多進行F次深度優先搜尋，所以其複雜度為O(F|E|)。不過，這是一個很鬆的上界，達到這種最壞複雜度的情況幾乎不存在。所以在多數情況下，即便通過估算得到的複雜度偏高，實際運用當中還是比較快的。