機器學習中的數學

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本部落格為七月線上鄒博老師機器學習數學課程學習筆記

矩

• 對於隨機變數X,X的K階原點矩為 E(Xk)
• X的K階中心矩為 E([X−E(X)]k)
• 期望實際上是隨機變數X的1階原點矩,方差實際上是隨機變數X的2階中心矩
• 變異係數(Coefficient of Variation):標準差與均值(期望)的比值稱為變異係數,記為C.V
• 偏度Skewness(三階)
• 峰度Kurtosis(四階)

偏度與峰度

利用matplotlib模擬偏度和峰度

計算期望和方差

import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np
def calc(data):
    n=len(data) # 10000個數
    niu=0.0 # niu表示平均值,即期望.
    niu2=0.0 # niu2表示平方的平均值
    niu3=0.0 # niu3表示三次方的平均值
    for a in data:
        niu += a
        niu2 += a**2
        niu3 += a**3
    niu /= n  
    niu2 /= n
    niu3 /= n
    sigma = math.sqrt(niu2 - niu*niu)
    return
 
 [niu,sigma,niu3]

• niu=Xi¯即期望
• niu2=∑ni=1X2in
• niu3=∑ni=1X3in
• sigma表示標準差公式為σ=E(x2)−E(x)2−−−−−−−−−−−−√ 用python語言表示即為sigma=math.sqrt(niu2−niu∗niu)
• 返回值為[期望,標準差,E(x3)]
• PS:我們知道期望E(X)的計算公式為E(X)=∑i=1np(i)x(i)−−−−−(1)這裡我們X一個事件p(i)表示事件出現的概率,x(i)表示事件所給予事件的權值.
• 我們直接利用E(x)=Xi¯−−−−(2) 表示期望應當明確
  
  1. (2)公式中Xi是利用numpy中的
     偽隨機數生成的,其均值用於表示期望
  2. 此時(1)公式中對事件賦予的權值預設為1,即公式的本來面目為E(x)=(Xi∗1)¯

計算偏度和峰度

def calc_stat(data):
    [niu, sigma, niu3]=calc(data)
    n=len(data)
    niu4=0.0 # niu4計算峰度計算公式的分子
    for a in data:
        a -= niu
        niu4 += a**4
    niu4 /= n

    skew =(niu3 -3*niu*sigma**2-niu**3)/(sigma**3) # 偏度計算公式
    kurt=niu4/(sigma**4) # 峰度計算公式:下方為方差的平方即為標準差的四次方
    return [niu, sigma,skew,kurt]

利用matplotlib模擬影象

if __name__ == "__main__":
    data =  list(np.random.randn(10000)) # 滿足高斯分佈的10000個數
    data2 = list(2*np.random.randn(10000))  # 將滿足好高斯分佈的10000個數乘以兩倍,方差變成四倍
    data3 =[x for x in data if x>-0.5] # 取data中>-0.5的值
    data4 = list(np.random.uniform(0,4,10000)) # 取0~4的均勻分佈
    [niu, sigma, skew, kurt] = calc_stat(data)
    [niu_2, sigma2, skew2, kurt2] = calc_stat(data2)
    [niu_3, sigma3, skew3, kurt3] = calc_stat(data3)
    [niu_4, sigma4, skew4, kurt4] = calc_stat(data4)
    print (niu, sigma, skew, kurt)
    print (niu2, sigma2, skew2, kurt2)
    print (niu3, sigma3, skew3, kurt3)
    print (niu4, sigma4, skew4, kurt4)
    info = r'$\mu=%.2f,\ \sigma=%.2f,\ skew=%.2f,\ kurt=%.2f$' %(niu,sigma, skew, kurt) # 標註
    info2 = r'$\mu=%.2f,\ \sigma=%.2f,\ skew=%.2f,\ kurt=%.2f$' %(niu_2,sigma2, skew2, kurt2)
    info3 = r'$\mu=%.2f,\ \sigma=%.2f,\ skew=%.2f,\ kurt=%.2f$' %(niu_3,sigma3, skew3, kurt3)
    plt.text(1,0.38,info,bbox=dict(facecolor='red',alpha=0.25))
    plt.text(1,0.35,info2,bbox=dict(facecolor='green',alpha=0.25))
    plt.text(1,0.32,info3,bbox=dict(facecolor='blue',alpha=0.25))
    plt.hist(data,100,normed=True,facecolor='r',alpha=0.9)
    plt.hist(data2,100,normed=True,facecolor='g',alpha=0.8)
    plt.hist(data4,100,normed=True,facecolor='b',alpha=0.7)
    plt.grid(True)
    plt.show()

• 圖形表示的是利用numpy隨機數生成函式生成的隨機數的統計分佈,利用matplotlib.pyplot.hist繪製的直方圖.即是出現數字的分佈統計,並且是歸一化到0~1區間後的結果.
• 即橫軸表示數字,縱軸表示在1000個隨機數中橫軸對應的數出現的百分比.若不使用歸一化橫軸表示數字(normed=False),縱軸表示出現的次數.
• 若不使用歸一化–縱軸表示出現次數

• 關於matplotlib.pyplot.hist函式

n, bins, patches = plt.hist(arr, bins=10, normed=0, facecolor='black', edgecolor='black',alpha=1，histtype='b')
hist的引數非常多，但常用的就這六個，只有第一個是必須的，後面四個可選

arr: 需要計算直方圖的一維陣列

bins: 直方圖的柱數，可選項，預設為10

normed: 是否將得到的直方圖向量歸一化。預設為0

facecolor: 直方圖顏色

edgecolor: 直方圖邊框顏色

alpha: 透明度

histtype: 直方圖型別，‘bar’, ‘barstacked’, ‘step’, ‘stepfilled’

返回值 ：

n: 直方圖向量，是否歸一化由引數normed設定

bins: 返回各個bin的區間範圍

patches: 返回每個bin裡面包含的資料，是一個list