學習隱馬爾可夫模型（HMM），主要就是學習三個問題：概率計算問題，學習問題和預測問題。在前面講了概率計算問題：前後向演算法推導，Baum-Welch演算法。最後在這裡講最後的一個問題，預測問題。

預測問題：給定HMM引數 $\lambda =\{\pi ,A$

記： $Q=\{q_1,q_2,...,q_N\}$表示所有可能的狀態集合（後面可能也會直接用數字來表示）， $V=\{v_1,v_2,...,v_M\}$表示所有可能的觀測集合。

$I=\{i_1,i_2,...,i_T\}$ 表示狀態序列， $O=\{o_1,o_2,...,o_N\}$ 為對應的觀測序列。

下面給出HMM預測問題的兩種演算法：近似演算法和維特比演算法

近似演算法

近似演算法的思想是，在每個時刻 $t$ 選擇最有可能的狀態 $i^*_{t}$， $t$從1開始直到 $T$，所以可以求出狀態序列 $I^*=(i^*_{1},i^*_{2},...,i^*_{T})$，將 $I^*$作為預測結果。

記 $\gamma_t(i)=P(i_t=q_i|O,\lambda)$，即已知模型 $\lambda$，給定觀測序列條件下，在 $t$ 時刻狀態為 $q_i$ 的概率，根據前後向演算法得出的結論1、2中有:

$\gamma_t(i)=\frac{\alpha_t(i)\beta_t(i)}{\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_t(i)\beta_t(i)}$

那麼在每一時刻 $t$ 最有可能的狀態 $i^*_t$為:

$i^*_t=\arg\max\limits_{i}\gamma_t(i)$

從而得到最有可能的狀態序列 $I^*=(i^*_{1},i^*_{2},...,i^*_{T})$。
該演算法簡單，但是不能保證整體是最有可能的預測狀態序列。

維特比演算法

維特比演算法實際上是用動態規劃（dp）來求解HMM預測問題。

關於動態規劃，也就是將大問題分解分眾多小問題，通過小問題的解來得到大問題的解。對各個小問題進行求解後，會將結果填入表中，下次要用的時候就不用再去計算而是直接拿來用了，這樣能有效避免重複計算問題（以空間換時間），基本上都會涉及到遞推。具體的可以去leetcode上刷兩題感受一下，下面寫個常見機器人走格子的動態規劃問題。

首先定義一個二維的表 int[][] dp，其中dp[i][j]表示從初始位置走到 $(i,j)$ 位置有多少種走法。現在我們需要得到的是 dp[m-1][n-1]，即從初始位置走到終點有多少種走法。初始有dp[0][0]=1，那麼遞推公式是怎樣的呢？考慮dp[i][j]，由於到 $(i,j)$位置只能從該位置的左邊或者上邊走過來，左邊走過來的方法數為dp[i][j-1]，上邊走過來的方法數為dp[i-1][j]，兩者之和就是走到該位置的方法數。根據dp[i][j-1],dp[i-1][j]，需要初始化表的第一行和第一列。

class Solution {
    //dp[i][j]表示從左上角走到i,j位置的路徑數 dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
    //因為(i,j)位置只能由它上面走過來和左邊走過來
    public int uniquePaths(int m, int n) {
		int[][] dp = new int[m][n];
		for(int i = 0; i < m; i ++){
			dp[i][0] = 1;
		}
		for(int j = 1; j < n; j ++){
			dp[0][j] = 1;
		}
		for(int i = 1; i < m; i ++){
			for(int j = 1; j < n; j ++){
				dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
			}
		}
		return dp[m-1][n-1];
    }
}

再來看維特比演算法

定義變數 $\delta_t(i)$：表示在 $t$ 時刻，狀態為 $i$ 的所有路徑中，概率的最大值。