[Codeforces 666E]Forensic Examination（廣義字尾自動機 + 線段樹合併 + 樹上倍增）

阿新 • • 發佈：2019-01-13

Address

Meaning

給定一個字串 $S$ 和 $m$ 個字串 $T_1,T_2,...,T_m$
有 $q$ 個詢問，每個詢問給出四個引數 $l$ 、 $r$ 、 $p_l$ 、 $p_r$
求 $S$ 的子串 $[p_l,p_r]$ 在 $T_l$ 、 $T_{l+1}$ 、…、 $T_r$ 中的哪個串中出現的次數最多
如果出現次數最多的有多個串則取編號最小的
對於每組詢問輸出編號和出現次數
$1\le|S|\le5\times10^5$ ， $1\le m\le5\times10^4$ ， $1\le\sum_{i=1}^m|T_i|\le5\times10^4$ ， $1\le q\le5\times10^5$
時限 6s ，空限 768MB

Solution

首先把所有的 $T_1,T_2,...,T_m$ 和 $S$ 放在一起建立廣義 SAM ，下面就對這個 SAM 對應的 Parent 樹進行討論
下面我們定義「黑點」為對 $Right$ 集合有貢獻的點（即 SAM 構建過程中，不是被拆解出的所有狀態點）
第一個問題：對於樹上的已知節點 $u$ 以及已知區間 $[l,r]$ ，如何知道 $T[l...r]$ 這些串中，哪個串出現狀態 $u$ 的次數最多（相同者取最小編號），以及出現次數
根據 Parent 樹的性質，狀態 $u$ 的 $Right$ 集合可以用 $u$ 的子樹內所有黑點的某些東西表示出來
又根據 SAM 的性質，一個黑點對應原串的一個字首。相應地，在廣義 SAM 上，一個黑點對應原串集合的 Trie 樹上根到一個點的路徑
可以在每個黑點上，用一個vector儲存這個黑點對應了字串集合 $T$ 中哪些串的字首
以下把一個黑點上的 vector 記憶體的 $T$ 內的字串編號記作 $[1,m]$ 內的某種顏色
我們的做法出來了：這個問題就是求 $u$ 的子樹內哪種顏色出現次數最多（相同則取最小編號顏色）以及出現次數
可以使用線段樹合併~~或者可持久化線段樹~~解決這個問題
對每個點開一棵線段樹，下標為顏色，每個節點存出現次數最多的顏色及出現次數，對於每個點 $u$ ，通過線段樹合併從 $u$ 的子節點的資訊合併到點 $u$ 的資訊
到現在，我們已經解決了第一個問題
第二個問題：已知區間 $[p_l,p_r]$ ，如何找到子串 $S[p_l...p_r]$ 在 SAM 上對應的狀態點
如果是 $S[1...p_r]$ 對應的狀態點，那麼要找的點顯然是 $S$ 的長度為 $p_r$ 的字首對應的黑點
而根據 Parent 樹的性質， $S[p_l...p_r]$ 對應的點是 $S[1...p_r]$ 對應點的祖先，且每個點的父親節點的 $maxl$ 都嚴格小於自己的 $maxl$
於是，如果 $S[1...p_r]$ 對應的狀態點為 $u$ ，那麼我們要做的就是找到 $u$ 的祖先中，離 $u$ 最遠的，滿足 $maxl_v\ge r-l+1$ 的點 $v$
可以使用樹上倍增找到這個點 $v$
這樣我們的做法就出來了：先通過線段樹合併預處理 Parent 樹每個點的子樹內資訊，詢問時通過樹上倍增找到 $S[p_l...p_r]$ 對應的狀態 $u$