字尾自動機

毒液哥 Fudan University

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引論

字尾自動機（Suffix Automaton, SAM）是基於字尾匹配的字尾資料結構中一種功能強大的資料結構。
作為一個能接受字串所有子串的有限狀態自動機，字尾自動機構建的時空複雜度均只需要 $O\left(n\right)$

O(n) O(n), 其中 $n$為字串長度，且字符集大小 $\Sigma$為常數。
下文將會討論字尾自動機的基本定義和構造以及複雜度分析，並結合例題來分析其作為自動機以外的性質。

字尾自動機

定義

在字串領域中，一個自動機有如下構成：

• 狀態
• 轉移
• 一個初始狀態
• 至少一個接受狀態
• 字符集

而有限狀態自動機（Finate-State Automaton, FSA）的狀態和轉移數均是有限的。
若將狀態視作點，將轉移視作有向邊，則FSA可以用一個有向圖表示。

FSA可以讀入一個字串並且，從初始狀態開始，依次沿著字串的每個字元在當前狀態的轉移，轉移到下一個狀態，並最終停留在一個狀態上。若該狀態是一個接受狀態，則稱這個字串可以被這個FSA所接受。而後綴自動機是由長度為 $n$

n 的字串 $S$構造的一個狀態數為 $O(n)$，轉移數為 $O(n)$的能接受 $S$所有子串的FSA.

考慮一個樸素的能接受 $S$的所有子串的FSA，對所有不同的子串都建立一個狀態，那麼轉移易得，且所有狀態均是接受狀態。

對於一個長度為 $n$的字串 $S$, 我們作如下記號：

• $S_i$表示 $S$中從左往右數第 $i$個字元。
• $S_{i, j}$表示 $S$中以 $S_i$開頭， $S_j$結尾的子串。
• $Pre_i$表示以 $S_i$結尾的 $S$的字首，即 $S_{1, i}$。
• $Suf_i$表示以 $S_i$開頭的 $S$的字尾，即 $S_{i, n}$。
• $End_{i, j}$表示 $S_{i, j}$在 $S$中出現位置的結尾座標構成的集合。
• $End_T$表示 $T$在 $S$中出現位置的結尾座標構成的集合。
• $A + B$表示將字串（字元） $A$和字串（字元） $B$拼接在一起得到的字串。

根據定義我們可以得到如下性質1：對於 $S$的兩個子串 $A,\ B$, 若 $End_A$和 $End_B$有交集，則必有 $End_A \subseteq End_B$或 $End_B \subseteq End_A$, 不妨設 $End_A \subseteq End_B$，則 $B$是 $A$的一個字尾。

定義 $End$等價類：若兩個狀態（子串）的 $End$集合相等，則他們屬於同一個 $End$等價類。

樸素的FSA中狀態數為 $O(n ^ 2)$，是我們無法接受的，因此必須考慮將某些狀態合併在一起。

若將一個 $End$等價類中的元素按長度遞減排序，則每個字串都是前一個的字尾。若其中的某個狀態無法轉移字元 $c$，因為等價類中所有字串的結尾均相同，且出現位置也都相同，該等價類中所有子串均無法轉移 $c$；同理，若某個狀態可以轉移字元 $c$，則該等價類中所有子串均可以轉移 $c$. 我們發現，一個 $End$等價類中所有狀態的轉移是相同的。因此可以一個 $End$等價類合併成一個狀態。對於這樣一個狀態 $x$，我們定義合併之前最長的字串為 $x_{max}$, 最短的為 $x_{min}$, $x_{max}$的長度為 $Length(x)$.

定義 $x$的字尾連結：一個 $Length(y)最大$的 $y$，使得 $End_x \subset End_y$, 則 $y$為 $x$的字尾連結，記為 $Link(x)$. 由前述性質可得， $y$狀態中所有子串均是 $x$中任意子串的字尾。

性質2：在 $x$無法轉移字元 $c$時， $Link(x)$有可能轉移 $c$，因為

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