位向量/點陣圖是一個很有用的資料結構，在充分利用小空間儲存大量資料方面非常具有優勢，Linux核心中很多地方都是用了點陣圖。同時，它不但基礎，而且用到了很多程式語言的知識，以及對細節的把握，常常作為面試題出現。這裡將要介紹它的實現、操作、應用。

　　與點陣圖(bitmap)比，我更傾向於用位向量(bit vector)，前者比較容易與圖形學裡的名詞混淆，其實提到點陣圖，多指的是“是使用畫素陣列來表示的影象”（維基百科），為了避免這一點，下文中使用位向量。先來看看產生位向量的需求：

　　一般地，對於多個物件和一個性質，這些物件可能滿足(true)也可能不滿足(false)這條性質。那麼，為了表示所有物件對這個性質的滿足情況，最容易想到的方式是分配一個int型變數（這裡不討論布林型，C++沒有對布林型佔用空間有明確規定；本文主要討論C）作為標誌，用1表示滿足條件，用0表示不滿足條件。同時為了方便查詢，把這些物件的標誌整合成一個數組。顯然，使用int來表示是0還是1有些太浪費空間了，即使把int改為char，浪費的情況也只是減輕了一部分，仍有很大的空間被浪費。考慮到計算機中最小的資料單位是非0即1的二進位制位，對於一個物件，使用一個二進位制位就足夠了。很多語言都具有位運算，利用位運算是可以完成本段開始處提出的要求的。當然，因為不能用一個變數名直接表示一個位，那麼可以將多個位組合成一個基本資料型別，通過對這個基本資料型別進行操作，達到使用位的方法。同時，為了方便，延續使用int陣列的做法，把這些由位組合成的基本資料型別也組成陣列。

　　經過這樣分析，位向量的實現方法大體是：多個位組成一個基本資料型別，基本資料型別組合成陣列。根據這個思路就可以寫出位向量的表示了。在閱讀下面程式碼前，建議讀者嘗試自己獨立完成，這是一些提示：簡單起見，使用int作為位組成的基本資料型別，且int使用32位表示；int陣列中元素的個數如何計算？

#define N           10000000 //number of elements
#define BITPERWORD  32 //bits of int depends on machine
int a[(N-1)/BITPERWORD + 1]; //allocate space for bitmap 
 
//《程式設計珠璣》原書中是N/BITPERWORD + 1
//如果N恰為BITPERWORD的倍數，那麼又要浪費一個int的空間了
//N取0時，仍會浪費一個int的空間
//N非0非BITPERWORD的倍數時，最多是最後一個int不完全利用而已

　　寫完了表示，就需要為這個資料結構增加對應的操作了。對於每個位的操作，有三種：設定為0、設定為1、讀取當前值。根據上文位向量的表示，實現這三種操作。同樣建議讀者先嚐試獨立完成。以下程式碼參考自《程式設計珠璣》習題1.2。

#define SHIFT       5    //32 = 2^5
#define MASK        0x1F //
 
 vaule 11111 in binary

//i代表需要進行操作的第i個物件
//i>>SHIFT相當於i/32，將i定位到具體是哪個int中，即a[i>>SHIFT]
//i&MASK相當於i%32 只保留i的0至4位，即i在int中的第幾位，然後把1左移這麼多位
//將a[i>>SHIFT]和(1<<(i&MASK))視需要進行操作
//同1做或運算或即為位設定
//同1取反再做與運算即為位清除
//同1做與，結果為0則原位為0，為1則原位為1
void set(int i)     {        a[i>>SHIFT] |=  (1<<(i&MASK));}
void clr(int i)     {        a[i>>SHIFT] &= ~(1<<(i&MASK));}
int test(int i)    { return a[i>>SHIFT] &   (1<<(i&MASK));}

　　使用位向量前不要忘記對所有位進行初始化：

for(i=0;i<N;i++)
    clr(i);

　　當然，你也可以用這個或許更快的初始化方式：

int temp = N/BITPERWORD+1;
for (i=0; i< temp;i++) 
    a[i] = 0;

補充討論：

Q:為什麼要用看上去並不那麼直接的位運算而不是i/32和i%32？

A:為了速度而不是易讀性。你所寫下的最初版本如果使用的是/和%，當然沒有錯；當你著手於提高效率的時候，把它們改成移位運算就勢在必行了。雖然編譯器可能會對/和%在除數為2的冪時進行優化，寫成移位運算，你當然可以自己來完成這件事來保證確實優化了。

Q:是否可以將存放位向量的陣列作為引數？

A:當然可以，上文程式碼只是為了敘述方便。

Q:是否可以把這三個函式寫成巨集？

A:其實我曾經被面試過一道題，就是要求寫一個巨集，完成上面clr(i)的任務。寫成巨集當然沒問題，注意加好括號就行，具體的用法讓呼叫的人去擔心吧（笑）。

Q:位向量和位欄位/位域有什麼區別和聯絡？可以用位欄位來實現位向量嗎？

A:C語言允許將結構的整數成員存入比編譯器通常允許的更小的空間裡。然而它有三個風險：不同計算機中對齊限制不同；位欄位寬度限制不同；將位包裝成字的位元組順序不同。在位向量裡，雖然也有依賴於具體計算機特性的限制（需要預先知道int的位數），但是位的包裝是由程式設計師來控制的，也不必考慮對其限制。移植性略好於將成員宣告為1位整數位欄位的結構。

應用：

1.Linux中分配唯一pid的演算法、記憶體管理的夥伴分配系統等，詳細可以google，關鍵詞：linux+點陣圖。

2.一個最多包含n個正整數的檔案，每個數都小於n，其中n=10⁷，並且沒有重複。最多有1MB記憶體可用。要求用最快方式將它們排序並按升序輸出。（《程式設計珠璣》第一章正文）方法是一次讀入檔案，把出現過的數字對應位置1；讀取完畢後從低位到高位輸出位向量為1的位所代表的數。

3.如果有用時間換空間的必要，可以將尋找1至某個數之間所有質數的埃氏篩法用位向量實現。原始版本的程式碼見於《程式設計珠璣（續）》習題1.2，演算法簡介：一個n位元的陣列，對應1至n-1，初值均為真。從2開始，每發現一個質數，就把這個陣列中所有這個數的倍數設為假。下一個質數就是陣列中下一個為真的位元。迴圈至所有數都被遍歷，即可得到該範圍內所有的質數。

引申和擴充套件：

1.（習題1.6）每個整數最多出現10次而不是1次；如果記憶體限制不變，又應該怎麼做？提示：多趟排序

（更一般的擴充套件：用幾個位表示一個物件的多個性質，也即一個物件不僅僅只佔用一位而是多位，但每個物件佔用的位數是相同的。重寫點陣圖。）

2.（習題1.9）對於稀疏的位向量，初始化很浪費時間。一般地，對於一個向量（不僅限於位向量），怎樣利用輔助資料結構，使得第一次訪問位向量的某一位時才將其初始化為0？

解法：

對於向量int data[N]，分配輔助資料結構int from[N]和to[N]，以及一個整數top，初始化top=0。

插入data[i]時，from[i]填入top，to[top] = i，top++；

這樣維持了一個性質：top代表下一個被插入的值的次序；from[i]代表了data[i]是第幾個被插入的；to[]中小於top的元素to[j]儲存了第j個被插入對應在data[]的下標。

若data[i]未初始化，則from[i]也未初始化，此時即使from[i]中未初始化的垃圾值<top，to[from[i]]!= i，仍能判斷出data[i]未初始化。