演算法入門6：回溯法

一. 回溯法 – 深度優先搜素                       

1. 簡單概述

       回溯法思路的簡單描述是：把問題的解空間轉化成了圖或者樹的結構表示，然後使用深度優先搜尋策略進行遍歷，遍歷的過程中記錄和尋找所有可行解或者最優解。

基本思想類同於：

• 圖的深度優先搜尋
• 二叉樹的後序遍歷

      【

         分支限界法：廣度優先搜尋

         思想類同於：圖的廣度優先遍歷

                                二叉樹的層序遍歷

      】

2. 詳細描述

        詳細的描述則為：

        回溯法按深度優先策略搜尋問題的解空間樹。首先從根節點出發搜尋解空間樹，當演算法搜尋至解空間樹的某一節點時，先利用剪枝函式

判斷該節點是否可行（即能得到問題的解）。如果不可行，則跳過對該節點為根的子樹的搜尋，逐層向其祖先節點回溯；否則，進入該子樹，繼續按深度優先策略搜尋。

        回溯法的基本行為是搜尋，搜尋過程使用剪枝函式來為了避免無效的搜尋。剪枝函式包括兩類：1. 使用約束函式，剪去不滿足約束條件的路徑；2.使用限界函式，剪去不能得到最優解的路徑。

        問題的關鍵在於如何定義問題的解空間，轉化成樹（即解空間樹）。解空間樹分為兩種：子集樹和排列樹。兩種在演算法結構和思路上大體相同。

3. 回溯法應用

       當問題是要求滿足某種性質（約束條件）的所有解或最優解時，往往使用回溯法。

       它有“通用解題法”之美譽。

二. 回溯法實現 - 遞迴和遞推（迭代）                               

        回溯法的實現方法有兩種：遞迴和遞推（也稱迭代）。一般來說，一個問題兩種方法都可以實現，只是在演算法效率和設計複雜度上有區別。
      【類比於圖深度遍歷的遞迴實現和非遞迴（遞推）實現】

1. 遞迴

        思路簡單，設計容易，但效率低，其設計正規化如下：

1. //針對N叉樹的遞歸回溯方法
2. void backtrack (int t)  
3. {  
4.     if (t>n) output(x); //葉子節點，輸出結果，x是可行解
5.     else
6.        for i = 1 to k//當前節點的所有子節點
7.         {  
8.             x[t]=value(i); //每個子節點的值賦值給x
9.             //滿足約束條件和限界條件
10.           if (constraint(t)&&bound(t))   
11.                 backtrack(t+1);  //遞迴下一層
12.         }  
13. }

2. 遞推

      演算法設計相對複雜，但效率高。

1. //針對N叉樹的迭代回溯方法
2. void iterativeBacktrack ()  
3. {  
4.     int t=1;  
5.     while (t>0) {  
6.         if(ExistSubNode(t)) //當前節點的存在子節點
7.         {  
8.             for i = 1 to k  //遍歷當前節點的所有子節點
9.             {  
10.                 x[t]=value(i);//每個子節點的值賦值給x
11.                 if (constraint(t)&&bound(t))//滿足約束條件和限界條件 
12.                 {  
13.                     //solution表示在節點t處得到了一個解
14.                     if (solution(t)) output(x);//得到問題的一個可行解，輸出
15.                     else t++;//沒有得到解，繼續向下搜尋
16.                 }  
17.             }  
18.         }  
19.         else//不存在子節點，返回上一層
20.         {  
21.             t--;  
22.         }  
23.     }  
24. }  

三. 子集樹和排列樹                                 

1. 子集樹

       所給的問題是從n個元素的集合S中找出滿足某種性質的子集時，相應的解空間成為子集樹。
如0-1揹包問題，從所給重量、價值不同的物品中挑選幾個物品放入揹包，使得在滿足揹包不超重的情況下，揹包內物品價值最大。它的解空間就是一個典型的子集樹。

       回溯法搜尋子集樹的演算法正規化如下：

1. void backtrack (int t)  
2. {  
3.   if (t>n) output(x);  
4.     else
5.       for (int i=0;i<=1;i++) {  
6.         x[t]=i;  
7.         if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
8.       }  
9. }

2. 排列樹

      所給的問題是確定n個元素滿足某種性質的排列時，相應的解空間就是排列樹。
如旅行售貨員問題，一個售貨員把幾個城市旅行一遍，要求走的路程最小。它的解就是幾個城市的排列，解空間就是排列樹。
      回溯法搜尋排列樹的演算法正規化如下：

1. void backtrack (int t)  
2. {  
3.   if (t>n) output(x);  
4.     else
5.       for (int i=t;i<=n;i++) {  
6.         swap(x[t], x[i]);  
7.         if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
8.         swap(x[t], x[i]);  
9.       }  
10. } 

四. 經典問題                                    

（1）裝載問題
（2）0-1揹包問題
（3）旅行售貨員問題
（4）八皇后問題
（5）迷宮問題
（6）圖的m著色問題

1. 0-1揹包問題

        問題：給定n種物品和一揹包。物品i的重量是wi，其價值為pi，揹包的容量為C。問應如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包中物品的總價值最大?
        分析：問題是n個物品中選擇部分物品，可知，問題的解空間是子集樹。比如物品數目n=3時，其解空間樹如下圖，邊為1代表選擇該物品，邊為0代表不選擇該物品。使用x[i]表示物品i是否放入揹包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜尋過程，如果來到了葉子節點，表示一條搜尋路徑結束，如果該路徑上存在更優的解，則儲存下來。如果不是葉子節點，是中點的節點（如B），就遍歷其子節點（D和E），如果子節點滿足剪枝條件，就繼續回溯搜尋子節點。

程式碼：

1. #include <stdio.h>
2. #define N 3         //物品的數量
3. #define C 16        //揹包的容量
4. int w[N]={10,8,5};  //每個物品的重量
5. int v[N]={5,4,1};   //每個物品的價值
6. int x[N]={0,0,0};   //x[i]=1代表物品i放入揹包，0代表不放入
7. int CurWeight = 0;  //當前放入揹包的物品總重量
8. int CurValue = 0;   //當前放入揹包的物品總價值
9. int BestValue = 0;  //最優值；當前的最大價值，初始化為0
10. int BestX[N];       //最優解；BestX[i]=1代表物品i放入揹包，0代表不放入
11. //t = 0 to N-1
12. void backtrack(int t)  
13. {  
14.     //葉子節點，輸出結果
15.     if(t>N-1)   
16.     {  
17.         //如果找到了一個更優的解
18.         if(CurValue>BestValue)  
19.         {  
20.             //儲存更優的值和解
21.             BestValue = CurValue;  
22.             for(int i=0;i<N;++i) BestX[i] = x[i];  
23.         }  
24.     }  
25.     else
26.     {  
27.         //遍歷當前節點的子節點：0 不放入揹包，1放入揹包
28.         for(int i=0;i<=1;++i)  
29.         {  
30.             x[t]=i;  
31.             if(i==0) //不放入揹包
32.             {  
33.                 backtrack(t+1);  
34.             }  
35.             else//放入揹包
36.             {  
37.                  //約束條件：放的下
38.                 if((CurWeight+w[t])<=C)  
39.                 {  
40.                     CurWeight += w[t];  
41.                     CurValue += v[t];  
42.                     backtrack(t+1);  
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