最短路徑-Floyd演算法的matlab實現

​ 弗洛伊德演算法是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，可以正確處理有向圖或有向圖或負權（但不可存在負權迴路)的最短路徑問題。

​ 在Floyd演算法中一般有兩個矩陣，一個距離矩陣D，一個路由矩陣R，其中距離矩陣用於儲存任意兩點之間的最短距離，而路由矩陣則記錄任意兩點之間的最短路徑資訊。

其思想是：如果可以從一個點進行中轉，就進行比較從這個點中轉和不中轉的距離，儲存距離小的情況，並更新距離矩陣和路由矩陣。

從演算法思想中我們可以大概推斷我們要遍歷n箇中轉點，在每個中轉點進行操作的時候，需要對任意兩點之間 的距離進行遍歷。那麼演算法就應該有三重迴圈，第一重迴圈是遍歷中轉點，第二重和第三重迴圈是遍歷任意兩個點之間的距離。假設中轉節點為K，那麼節點i與j之間的最小距離怎麼更新呢？
$D$

其中D(i,K)+D(K,j)表示i到j從K中轉的距離，D(i,j)表示從i到j的最短距離，如果前者比後者小，那麼就D(i,j)進行更新：$D(i,j) = D(i,K)+D(K,j)$，這樣就更新了距離矩陣。怎麼記錄這條最短路徑呢，這個時候就需要更新我們的路由矩陣：$R(i,j) = R(i,K)$

路由矩陣很好理解，比如最開始是R(4,3) = 3,表示V4到V3一步就可以到達V3,如果現在可以從V2中轉到達，那麼R(4,3) = R(4,2) =2,表示V4->V3要先經過V2才能到達。

​ 下面我將用一個簡單的例子來說明，下面是一個簡單的例子：

這個時候我們可以寫出距離矩陣D和路由矩陣R如下：

可以由V1中轉，那麼V1到到各個點的距離還是不變。V2沒有到達V1的路徑，所以也就不存在從V1中轉的情況，所以V2到各個點的距離還是不變。

V3可以經由V1中轉，那麼這個時候判斷一下中轉前和中轉後的距離大小，將最小距離留存下來如：

V3->V1 = 7 不變

V3->V2 = inf，經由V1中轉之後V3->V1->V2 = 9, 於是V3到V2的最短距離變化為9，更新路由矩陣R(3,2) = R(3,1) = 1

V3->V4 = 1,經由V1中轉之後V3->V1->V4 = 11, 於是V3到V4的最短距離就還是1

同理：

V4->V2 = inf, 經由V1中轉之後V4->V1->V2 = 7, 於是V4到V2的最短距離變化為7，更新路由矩陣R(4,2) = R(4,1) = 1

V4->V3 = 12,經由V1中轉之後V4->V1->V3 = 11, 於是V4到V2的最短距離變化為11，更新路由矩陣R(4,3) = R(4,1) = 1

那麼距離矩陣和路由矩陣變化為：

現在假設在從V1中轉的基礎上，圖中的每個點之間還可以經由V2中轉，於是：

V1->V2 = 2

V1->V3 = 6,經由V2中轉之後V1->V2->V3 = 5, 於是V1到V3的最短距離變化為5，更新路由矩陣R(1,3) = R(1,2) = 2

V1->V4 = 4

V2->V1 = inf

V2->V3 = 3

V2->V4 = inf

V3->V1 = 7

V3->V2 = 9

V3->V4 = 1

V4->V1 = 5

V4->V2 = 7

V4->V3 = 11,經由V2中轉之後V4->V2->V3 = 10, 於是V4到V3的最短距離變化為10，更新路由矩陣R(4,3) = R(4,2) = 1。

於是現在的距離矩陣和路由矩陣可以變為：

現在假設在從V1中轉的基礎上，圖中的每個點之間還可以經由V3中轉，於是：

V1->V2 = 2

V1->V3 = 5

V1->V4 = 4

V2->V1 = inf,經由V3中轉之後V2->V3->V1 = 10, 於是V2到V1的最短距離變化為10，更新路由矩陣R(2,1) = R(2,3) = 3。

V2->V3 = 3

V2->V4 = inf,經由V3中轉之後V2->V3->V4 = 4, 於是V2到V5的最短距離變化為4，更新路由矩陣R(2,4) = R(2,3) = 3。

V3->V1 = 7

V3->V2 = 9

V3->V4 = 1

V4->V1 = 5

V4->V2 = 7

V4->V3 = 10

於是現在的距離矩陣和路由矩陣可以變為：

現在假設在從V1中轉的基礎上，圖中的每個點之間還可以經由V4中轉，於是：

V1->V2 = 2

V1->V3 = 5

V1->V4 = 4

V2->V1 = 10，經由V4中轉之後V2->V4->V1 = 9, 於是V3到V1的最短距離變化為9，更新路由矩陣R(2,1) = R(2,4) = 3。

V2->V3 = 3

V2->V4 = 4

V3->V1 = 7,經由V4中轉之後V3->V4->V1 = 6, 於是V3到V1的最短距離變化為6，更新路由矩陣R(3,1) = R(3,4) = 4。

V3->V2 = 9,經由V4中轉之後V3->V4->V2 = 8, 於是V3到V1的最短距離變化為8，更新路由矩陣R(3,2) = R(3,4) = 4。

V3->V4 = 1

V4->V1 = 5

V4->V2 = 7

V4->V3 = 10

於是現在的距離矩陣和路由矩陣可以變為：

好了，到此所有點都中轉過了，任意兩點之間的最短距離就是最後距離矩陣中的資料，那麼其路徑該怎麼表示呢？路徑全部記錄在路由矩陣中了，我們只要讀取路由矩陣就可以了。

舉個例子：v4->V3

從距離矩陣中可以看出V4->V3的最短距離是D(4,3) = 10；根據其路由矩陣我們可以看出：

R(4,3) = 1,表示V4->V3,先經過V1，於是再看R(1,3) = 2,表示還需要再經過V2,於是我們看R(2,3) = 3,這個時候我們發現終於到了V3,所以我們梳理一下，V4->V3的最短路徑是：V4->V1->V2->V3。簡言之就是固定列，根據路由矩陣在行中跳轉，直到跳轉到對應的點。

所以最後我們展示出程式碼就很容易理解了：

% floyd.m
% 採用floyd演算法計算圖a中每對頂點最短路
% d是矩離矩陣
% r是路由矩陣
function [d,r]=floyd(a)
n=size(a,1);
% 初始化距離矩陣
d=a;
% 初始化路由矩陣
for i=1:n
    for j=1:n
        r(i,j)=j;
    end 
end 
r;

% Floyd演算法開始
for k=1:n
    for i=1:n
        for j=1:n
            if d(i,k)+d(k,j)<d(i,j)
                d(i,j)=d(i,k)+d(k,j);
                r(i,j)=r(i,k);
            end 
        end 
    end
    k;
    d;
    r;
end
d
r

最後我還寫了一個用於列印路徑的函式：

% DisplayPath.m 列印路徑函式
function DisplayPath(route, start, dest)
  % 打印出任意兩點之間的最短路徑 
  % route : 路由表 
  % start : 起點index
  % dest : 終點index
  
  i = 1;
  
  while 1
    if(route(start, dest) ~= dest)
      fprintf('V%s -> ', num2str(start));
      start = route(start, dest);
    else
      fprintf('V%s -> ', num2str(start));
      fprintf('V%s\n', num2str(dest));
      break;
    end
  end

我將上面的舉例的圖使用floyd演算法進行計算，並最後打印出任意兩點之間的最短路徑：

a = [0 2 6 4;
    inf 0 3 inf;
    7 inf 0 1 ;
    5 inf 12 0];
    
[d,r]=floyd(a)


disp('--------------------------')

for i = 1 : 4
  for j = 1 : 4
   DisplayPath(r, i, j);
  end
end

執行結果為：

main

d =

 0     2     5     4
 9     0     3     4
 6     8     0     1
 5     7    10     0

r =

 1     2     2     4
 3     2     3     3
 4     4     3     4
 1     1     1     4

V1 -> V1
V1 -> V2
V1 -> V2 -> V3
V1 -> V4
V2 -> V3 -> V4 -> V1
V2 -> V2
V2 -> V3
V2 -> V3 -> V4
V3 -> V4 -> V1
V3 -> V4 -> V1 -> V2
V3 -> V3
V3 -> V4
V4 -> V1
V4 -> V1 -> V2
V4 -> V1 -> V2 -> V3
V4 -> V4