支援向量機(Support Vector Machine, SVM)

考慮logistic迴歸，對於$y=1$的資料，我們希望其$h_\theta(x) \approx 1$，相應的$\theta^Tx \gg 0$; 對於$y=0$的資料，我們希望$h_\theta(x) \approx 0$，相應的$\theta^Tx \ll 0$。每個資料點的代價為: $$-\left[y\log(h_\theta(x))+(1-y)\log(1-h\theta(x))\right]$$當$y=1$時其代價$cost_1(z)=-\log(\frac{1}{1+e^{-z}})$；當$y=0$時其代價$cost_0(z)=-\log(1-\frac{1}{1+e^{-z}})$，分別如圖1左右所示。

圖1 當$y=1$和$y=0$單個數據點的代價隨$z$的變化

logistic迴歸的假設為$$\min\limits_\theta \frac{1}{m}\left[\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)}(-\log(h_\theta(x^{(i)}))) + (1-y^{(i)})(-\log(1-h_\theta(x^{(i)})))\right] + \frac{\lambda}{2m}\sum\limits_{j=1}^{n}\theta_{j}^2$$通過去掉$\frac{1}{m}$並且將$A+\lambda B$的形式變為$CA+B$的形式，可以得到SVM的假設為$$\min\limits_\theta C\left[\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)}cost_1(\theta^Tx^{(i)}) + (1-y^{(i)})cost_0(\theta^Tx^{(i)})\right] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{n}\theta_{j}^2$$

最大間隔(Large Margin Intuition)

對於$y=1$的資料，我們希望$\theta^Tx \ge 1$而不僅僅是$\ge 0$; 對於$y=0$的資料，我們希望$h_\theta(x) \leq -1$而不僅僅是$< 0$。當C很大時，由於$CA+B$要取最小值，因此$A\approx 0$，從而SVM最大化間隔問題變為\begin{align*}&\min\limits_\theta\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{n}\theta_j^{2}\\ &s.t.\quad\begin{cases}\theta^{T}x^{(i)}\geq 1 \quad y^{(i)}=1\\\theta^{T}x^{(i)}\leq -1 \quad y^{(i)}=0\end{cases}\end{align*}

圖2 支援向量機最優超平面和最大Margin（兩條虛線之間的距離），支撐向量指的是位於兩條虛線上的點（在高維空間中，每個點可以看作是從原點出發的向量，所以這些點也稱為向量）

引數C表示對錯誤的容忍程度，C值越大表示越不能容忍錯誤分類，容易出現過擬合現象（如圖3所示）.

圖3 引數C對分類的影響，C越大越不能容忍錯誤分類；反之能夠接受少量錯誤分類.

Kernel

對於低維空間中線性不可分的情況，可以通過增加高階多項式項將其對映到高維空間，使得在高維空間中通過一個超平面可分（如圖4所示）。Kernel解決如何選擇合適的高維特徵問題，對於任意低維資料點x，定義它與低維空間中預先選定的標記點$l^{(i)}$（landmarks）之間的相似性為$$f_i=similarity(x, l^{(i)})=exp\left(-\frac{||x-l^{(i)}||^2}{2\sigma^2}\right)$$這樣當有k個landmarks時，我們將得到k個新的特徵$f_i$,這樣就將低維空間的點x投射為高維（k維）空間中一個點。如果x距離$l^{(i)}$非常近，即$x\approx l^{(i)}$， 則相似性$f_i\approx 1$; 否則如果x距離$l^{(i)}$非常遠，則相似性$f_i\approx 0$。接下來一個問題是如何選擇landmarks，一種做法是選擇所有的m個樣本點作為landmarks，這樣對於具有n個特徵的資料點$x^{(i)}$，通過計算$f_i$，將得到一個具有m維空間的資料點$f^{(i)}$。

圖4 通過kernel函式將低維線性不可分資料投射到高維空間從而使得線性可分. 

SVM with kernels

假設(Hypothesis)：給定資料點$x$，計算新的特徵$f$。當$\theta^Tf \geq 0$時，預測$y=1$；反之，預測$y=0$。

訓練(Training):$$\min\limits_\theta C\left[\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)}cost_1(\theta^Tf^{(i)}) + (1-y^{(i)})cost_0(\theta^Tf^{(i)})\right] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j=1}^{n}\theta_{j}^2$$

引數C($\approx\frac{1}{\lambda}$)的影響:

• large C: low bias, high variance
• small C: high bias, low variance

引數$\sigma^2$的影響：

• large $\sigma^2$：high bias, low variance ($f_i$ vary more smoothly)
• small $\sigma^2$：low bias, high variance ($f_i$ vary less smoothly)

支援向量機實踐

實際應用中不會要求自己實現SVM，更多是呼叫執行緒的庫例如liblinear，libsvm等來求解。需要指定引數C和kernel函式。

Linear kernel： 不指定kernel，即“No kernel”，也稱為“linear kernel”（用於特徵n較大，同時example數m較小時）.

Gaussian kernel: $f_i=exp\left(-\frac{||x-l^{(i)}||^2}{2\sigma^2}\right)$，其中$l^{(i)}=x^{(i)}$，需要指定引數$\sigma^2$(用於n較小，m較大時)。注意在使用Gaussian kernel之前需要對資料進行feature scaling.

其他常見的kernel包括

• Polynomal kernel：$k(x, l) = (\alpha x^Tl+c)^{d}$，其中可調節引數包括坡度$\alpha$，常量$c$和多項式度$d$
• string kernel: 對字串直接進行變換，不需要將字串數值化，具體公式見wikipedia:string kernel
• chi-square kernel：$k(x, y)=1-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{(x_k-y_k)^2}{\frac{1}{2}(x_k+y_k)}$
• histogram intersection kernel：$k(x, y) = \sum\limits_{k=1}^{n}\min(x_k, y_k)$

 多元分類：採用one-vs-all的方法，對於k個分類，需要訓練k個svm.

logistic迴歸和SVM

當n較大時（$n\geq m$, n=10000, m = 1000），使用logistic迴歸或者SVM(with linear kernel)

當n較小，m中等時（n=10-1000, m = 10-100000），使用SVM(with Gaussian kernel)

當n較小, m較大時（n=1-1000, m = 500000），增加新的特徵，然後適用logistic迴歸或者SVM(with linear kernel)

神經網路在各類n, m情況下都工作的很好，缺陷是訓練速度比較慢

參考文獻

[1] Andrew Ng Coursera 公開課第七週

[4] Hofmann T, Schölkopf B, Smola A J. Kernel methods in machine learning[J]. The annals of statistics, 2008: 1171-1220.