概念

字串的編輯距離，又稱為Levenshtein距離，由俄羅斯的數學家Vladimir Levenshtein在1965年提出。是指利用字元操作，把字串A轉換成字串B所需要的最少運算元。其中，字元操作包括：

• 刪除一個字元     a) Insert a character
  

• 插入一個字元     b) Delete a character
  

• 修改一個字元     c) Replace a character

例如對於字串"if"和"iff"，可以通過插入一個'f'或者刪除一個'f'來達到目的。

  一般來說，兩個字串的編輯距離越小，則它們越相似。如果兩個字串相等，則它們的編輯距離（為了方便，本文後續出現的“距離”，如果沒有特別說明，則預設為“編輯距離”）為0（不需要任何操作）。不難分析出，兩個字串的編輯距離肯定不超過它們的最大長度（可以通過先把短串的每一位都修改成長串對應位置的字元，然後插入長串中的剩下字元）。

給定兩個字串A和B，求字串A至少經過多少步字元操作變成字串B。

1）首先考慮A串的第一個字元

  假設存在兩個字串A和B，他們的長度分別是lenA和lenB。首先考慮第一個字元，由於他們是一樣的，所以只需要計算A[2...lenA]和B[2...lenB]之間的距離即可。那麼如果兩個字串的第一個字元不一樣怎麼辦？可以考慮把第一個字元變成一樣的（這裡假設從A串變成B串）：

• 修改A串的第一個字元成B串的第一個字元，之後僅需要計算A[2...lenA]和B[2...lenB]的距離即可；
• 刪除A串的第一個字元，之後僅需要計算A[2...lenA]和B[1...lenB]的距離即可；
• 把B串的第一個字元插入到A串的第一個字元之前，之後僅需要計算A[1...lenA]和B[2...lenB]的距離即可。

2）接下來考慮A串的第i個字元和B串的第j個字元。

  我們這個時候不考慮A的前i-1字元和B串的第j-1個字元。如果A串的第i個字元和B串的第j個字元相等，即A[i]=B[j]，則只需要計算A[i...lenA]和B[j...lenB]之間的距離即可。如果不想等，則：

• 修改A串的第i個字元成B串的第j個字元，之後僅需要計算A[i+1...lenA]和B[j+1...lenB]的距離即可；
• 刪除A串的第i個字元，之後僅需要計算A[i+1...lenA]和B[j...lenB]的距離即可；
• 把B串的第j個字元插入到A串的第i個字元之前，之後僅需要計算A[i...lenA]和B[j+1...lenB]的距離即可。

  寫到這裡，自然會想到用遞迴求解或者動態規劃求解，由於用遞迴會產生很多重複解，所以用動態規劃。

建動態規劃方程

  用edit[i][j]表示A串和B串的編輯距離。edit[i][j]表示A串從第0個字元開始到第i個字元和B串從第0個字元開始到第j個字元，這兩個字串的編輯距離。字串的下標從1開始。

  dis[0][0]表示word1和word2都為空的時候，此時他們的Edit Distance為0。很明顯可以得出的，dis[0][j]就是word1為空，word2長度為j的情況，此時他們的Edit Distance為j，也就是從空，新增j個字元轉換成word2的最小Edit Distance為j；同理dis[i][0]就是，word1長度為i，word2為空時，word1需要刪除i個字元才能轉換成空，所以轉換成word2的最小Edit Distance為i。

  則從上面的分析，不難推匯出動態規劃方程：

，其中

上式中的min（）函式中的三個部分，對應三種字元操作方式：

edit[i-1][j]+1相當於給word2的最後插入了word1的最後的字元，插入操作使得edit+1，之後計算edit[i-1][j]；

edit[i][j-1]+1相當於將word2的最後字元刪除，刪除操作edit+1，之後計算edit[i][j-1];

edit[i-1][j-1]+flag相當於通過將word2的最後一個字元替換為word1的最後一個字元。flag標記替換的有效次數。

演算法分析： 

  也就是說，就是將一個字串變成另外一個字串所用的最少運算元，每次只能增加、刪除或者替換一個字元。
  首先我們令word1和word2分別為：michaelab和michaelxy（為了理解簡單，我們假設word1和word2字元長度是一樣的），dis[i][j]作為word1和word2之間的Edit Distance，我們要做的就是求出michaelx到michaely的最小steps。

  首先解釋下dis[i][j]：它是指word1[i]和word2[j]的Edit Distance。dis[0][0]表示word1和word2都為空的時候，此時他們的Edit Distance為0。很明顯可以得出的，dis[0][j]就是word1為空，word2長度為j的情況，此時他們的Edit Distance為j，也就是從空，新增j個字元轉換成word2的最小Edit Distance為j；同理dis[i][0]就是，word1長度為i，word2為空時，word1需要刪除i個字元才能轉換成空，所以轉換成word2的最小Edit Distance為i。下面及時初始化程式碼：

for(int i =0; i < row; i++) dis[i][0]= i;
for(int j =0; j < col; j++) dis[0][j]= j;

    下面來分析下題目規定的三個操作：新增，刪除，替換。

    假設word1[i]和word2[j](此處i = j)分別為：michaelab和michaelxy

    如果b==y, 

        那麼：dis[i][j] = dis[i-1][j-1]。                                                              

    如果b!=y，

        那麼：新增：也就是在michaelab後面新增一個y，那麼word1就變成了michaelaby，

             此時  dis[i][j] = 1 + dis[i][j-1]；

    上式中，1代表剛剛的新增操作，新增操作後，word1變成michaelaby，word2為michaelxy。

    dis[i][j-1]代表從word1[i]轉換成word2[j-1]的最小Edit Distance，也就是michaelab轉換成michaelx的最小

    Edit Distance，由於兩個字串尾部的y==y，所以只需要將michaelab變成michaelx就可以了，而他們之間的最

    小Edit Distance就是dis[i][j-1]。

    刪除：也就是將michaelab後面的b刪除，那麼word1就變成了michaela，此時dis[i][j] = 1 + dis[i-1][j]；

    上式中，1代表剛剛的刪除操作，刪除操作後，word1變成michaela，word2為michaelxy。dis[i-1][j]代表從

    word[i-1]轉換成word[j]的最小Edit Distance，也就是michaela轉換成michaelxy的最小Edit Distance，所以

    只需要將michaela變成michaelxy就可以了，而他們之間的最小Edit Distance就是dis[i-1][j]。

    替換：也就是將michaelab後面的b替換成y，那麼word1就變成了michaelay，此時dis[i][j] = 1 + dis[i-1][j-1]；

    上式中，1代表剛剛的替換操作，替換操作後，word1變成michaelay，word2為michaelxy。dis[i-1][j-1]代表從

    word[i-1]轉換成word[j-1]的最小Edit Distance，也即是michaelay轉換成michaelxy的最小Edit Distance，由

    於兩個字串尾部的y==y，所以只需要將michaela變成michaelx就可以了，而他們之間的最小Edit Distance就是

    dis[i-1][j-1]。

舉例：

• 如果最上方的字元等於最左方的字元，則為左上方的數字。否則為左上方的數字+1。（對於3,3來說為0）
• 左方數字+1（對於3,3格來說為2）
• 上方數字+1（對於3,3格來說為2）

程式碼：

<pre name="code" class="cpp">#include<stdio.h>
#include<string.h>
char s1[1000],s2[1000];
int min(int a,int b,int c)
{
    int tmp=a<b?a:b;
    return tmp<c?tmp:c;
}
void editDistance(int len1,int len2)
{
    int **d=new int*[len1+1];
    for(int i=0;i<=len1;i++)
        d[i]=new int[len2+1];
    int i,j;
    for(i=0;i<=len1;i++)
        d[i][0]=i;
    for(j=0;j<=len2;j++)
        d[0][j]=j;
    for(i=1;i<=len1;i++)
    {
        for(j=1;j<=len2;j++)
        {
            int cost=s1[i]==s2[j]?0:1;
            int deletion=d[i-1][j]+1;
            int insertion=d[i][j-1]+1;
            int substitution=d[i-1][j-1]+cost;
            d[i][j]=min(deletion,insertion,substitution);
        }
    }
    printf("距離為:%d\n",d[len1][len2]);
    for(int i=0;i<=len1;i++)
    {
        delete[] d[i];
    }
    delete[] d;
}
 
int main()
{
    while(scanf("%s%s",s1,s2)!=EOF)
    {
        editDistance(strlen(s1),strlen(s2));
    }
}