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正態分佈

正態分佈又名高斯分佈。

若隨機變數X服從一個數學期望為μ，標準差為σ的正態分佈，則記為X～N(μ,σ2)。

其中期望μ決定了分佈位置，標準差σ決定了分佈幅度。

概率密度函式為：

f(x)=1σ2π‾‾‾√e(x−μ)22σ2
若μ=0，σ=1，則稱為標準正態分佈。

伯努利分佈 Bernoulli

伯努利分佈又名二點分佈，0-1分佈。

首先介紹伯努利實驗。只有兩種可能結果的單次隨機實驗叫做伯努利實驗，即可以用是與否來概括實驗結果。如果獨立重複n次伯努利實驗，則稱之為n重伯努利實驗。

若進行一次伯努利實驗，且P(X=1

)=p,P(X=0)=1−p，那麼稱隨機變數X服從伯努利分佈。

伯努利分佈的概率密度函式為：

f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪p,1−p,0,x=1x=0其他

二項分佈 Binomial

二項分佈是n重伯努利實驗成功次數所服從的離散概率分佈。

假設n重伯努利實驗的成功次數為X,成功的概率為p，那麼我們稱X～B(n,p)。

二項分佈的概率密度函式是：

f(x)=Cxnpx(1−p)n−x,x∈{0,1,2,...,n}
則伯努利分佈是二項分佈的一種特殊表現形式，即n=1。

經典案例是擲硬幣，即硬幣正面朝上的概率為p，那麼擲n次硬幣，正面朝上的次數服從二項分佈。

多項式分佈 Multinomial

多項式分佈是二項分佈的推廣，仍然是進行n次獨立實驗，但是每次實驗的結果不再只有兩種，而是可以有m種。這m種結果彼此互斥，且發生的概率之和為1。
多項式分佈的概率密度函式是：

f(X)=f(x1,x2,...xm)(多項式系數展開後可以約掉)其中∑i=1mxi=n,∑i=1mpi=1=Cx1npx11Cx2n−x1px22...Cxmn−x1−x2−..xm−1pxmm=n!x1!x2!...xn!px11px22...pxmm=n!x1!x2!...xn!∏i=1mpx

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