原理

(a):我們取2個很大的質數p,q,記n=pq,w=(p−1)(q−1).

(b):取e<p,q,若de=N∗(p−1)∗(q−1)+1,則我們可以進行如下操作

(c):對數C加密,x=Cemodn,則xdmodn=cdemodn

(d):根據費馬小定理,cp−1modp=1,cq−1modq=1,cwmodn=1=⟩cde−1modn=1

(e):所以cdemodn=c，因此只需要(n,e),(n,d)兩組信息就可以對數據加密和解密,而且由於傳遞信息只要其中一個,所以不擔心解密辦法會被破譯。

(f):回到(b),我們怎麼求出來d?這裡需要用到輾轉相除法的變形來計算逆元

,具體演算法請查閱資料。

演算法的簡單實現:裡面主要有一個輾轉相除法的變形和快速求餘的演算法。

def rev_gcd(a,b):#計算逆元
    an,N = [],a
    while 1:
        divisior = a//b
        a,b = b,a%b
        if b==0:break
        an.append(divisior)
    b1,b2 = 1,0
    for ai in an[::-1]:b1,b2 = b1*ai+b2,b1
    if len(an)%2 ==0:return b1
    else:return
 
 N-b1
def create(p,q):
    n = p*q
    e = (p>>1)+(q>>1)
    x = (p-1)*(q-1)
    d = rev_gcd(x,e)
    return n,d,e
def rsa_endecode(c,e,n):#快速求餘演算法
    u = 1;
    while e:
        if e&1:u = (u*c)%n
        c = (c**2)%n
        e >>=1
    return u
n,d,e  = create(104729,15485863
 
)
c = rsa_endecode(310,e,n)
print(c,rsa_endecode(c,d,n))