一.基本知識

1. 數學知識

（1）在二叉樹的第i層上最多有2^(i-1)個節點

（2）深度為k的二叉樹最多有2^(k)-1 個節點

（3）對任意二叉樹，若葉子節點數為n0,度（節點擁有子樹的個數）為2的節點數為n2，則 n0==n2+1

（4）對於具有n個節點的完全二叉樹，如果按照對滿二叉樹節點連續編號的方式，對所有節點從1開始順序編號，則對於任意序號為i的節點有：

  如果 i==1 ,則沒有雙親節點。i>1 ,則雙親節點（是同一個節點）的序號為“i/2”
  如果 2i <= n,則節點i的左孩子節點序號為 2i ，否則就沒有左孩子
  如果 2i + 1 <= n,則節點i的右孩子節點序號為 2i+1 ，否則就沒有右孩子
 

以上知識可以自己畫圖進行驗證，也可以自己進行數學論證（反正我是不會的了~_~）

二. 二叉樹的建立（二叉連結串列）

節點定義：

typedef struct Node {
    char data ;
    struct Node * Lchild ;
    struct Node * Rchild ;
} BiNode ;

1.先序建立：

（1）第一種方法

BiNode *CreteBitree()   //返回根節點
{
    BiNode *p;
    char ch ;
    cin >> ch ;
    if(ch  ==
 
 '#') 
        return NULL;
    else {
        p= (BiNode *)malloc(sizeof(BiNode));
        p->data = ch  ;
        p->Lchild=CreteBitree();
        p->Rchild=CreteBitree();
    }
    return p;  //p is root 
} 

（2）第二種方法

void CreteBitree(BiNode **root)  
{
    char ch ;
    cin >> ch ;
    if
 
( ch == '#' ) 
        *root= NULL;
    else {
        *root = (BiNode *)malloc(sizeof(BiNode));
        (*root)->data = ch;
        CreteBitree(&(*root)->Lchild);
        CreteBitree(&(*root)->Rchild);
    }
}

三.二叉樹的遍歷

1.遞迴遍歷

void PreOrder(BiNode *root)    //  先序遍歷
{
    if(root)
    {
        cout << root->data ;
        PreOrder(root->Lchild);
        PreOrder(root->Rchild);
    }
}

void InOrder(BiNode  *root) //  中序遍歷
{
    if(root)
    {
        InOrder(root->Lchild);
        cout << root->data ;
        InOrder(root->Rchild);
    }
}
void PostOrder(BiNode *root) // 後序遍歷
{
    if(root)
    {
        PostOrder(root->Lchild);
        PostOrder(root->Rchild);
        cout << root->data ;
    }
}

完整程式碼：

#include<iostream>
using namespace std;

typedef struct Node {
    char data ;
    struct Node * Lchild ;
    struct Node * Rchild ;
} BiNode ;

void CreteBitree(BiNode **root)  
{
    char ch ;
    cin >> ch ;
    if( ch == '#' ) 
        *root= NULL;
    else {
        *root = (BiNode *)malloc(sizeof(BiNode));
        (*root)->data = ch;
        CreteBitree(&(*root)->Lchild);
        CreteBitree(&(*root)->Rchild);
    }
}

/*BiNode * CreteBitree()  
{
    BiNode *p;
    char ch ;
    cin >> ch ;
    if(ch  == '#') 
        return NULL;
    else {
        p= (BiNode *)malloc(sizeof(BiNode));
        p->data = ch  ;
        p->Lchild=CreteBitree();
        p->Rchild=CreteBitree();
    }
    return p; //p is root 
}*/

void PreOrder(BiNode *root)    //  先序遍歷
{
    if(root)
    {
        cout << root->data ;
        PreOrder(root->Lchild);
        PreOrder(root->Rchild);
    }
}

void InOrder(BiNode  *root) //  中序遍歷
{
    if(root)
    {
        InOrder(root->Lchild);
        cout << root->data ;
        InOrder(root->Rchild);
    }
}
void PostOrder(BiNode *root) // 後序遍歷
{
    if(root)
    {
        PostOrder(root->Lchild);
        PostOrder(root->Rchild);
        cout << root->data ;
    }
}
int main(void)
{
    BiNode *root;
    cout  << "Please input the  string :" << endl ;

    CreteBitree(&root);
//    root = CreteBitree();
    cout<< "遞迴！！！先序遍歷：" << endl ;
    PreOrder(root);
    cout << endl;
    cout<< "中序遍歷：" << endl ;
    InOrder(root);
    cout << endl;
    cout<< "後序遍歷：" << endl ;
    PostOrder(root);
    cout << endl ;
    return 0;
}

所建立的樹的形狀：

執行結果：

可以看到結果是正確的！！！

備註：以上的的程式碼均假設輸入了正確的字元，沒有進行錯誤處理。

下一篇將訴說二叉樹的非遞迴遍歷。