作為機器學習中一種基本的分類方法，K近鄰(KNN)法是一種相對簡單的方法。其中一個理由是K近鄰法不需要對訓練集進行學習。然而，不需要對訓練集進行學習，反過來也會造成對測試集進行判定時，計算與空間複雜度的增加。

K近鄰法最簡單的實現方法是對需要分類的目標點，計算出訓練集中每一個點到其的距離（比較常用的有歐氏距離），然後選取K個距離目標最近的點，根據這些點的分類以多數表決的形式來決定目標點的分類。理論上該方法的時間複雜度為O(n)。當n的數量巨大時，時間開銷是巨大的。

kd樹是一種為了提高KNN方法效率的特殊資料結構，它的本質是二叉樹，每一個節點代表著對k維輸入空間上的某一位進行劃分的超平面。構造kd樹相當於不斷使用垂直於座標軸的超平面將K維空間劃分。

構建樹的過程中，依次按順序選擇k維空間的某一個特徵，在該特徵的座標軸上通過某個例項的特徵值確定超平面，該超平面垂直於選擇的座標軸，將當前的超矩形區域劃分為左右兩個子區域，此時輸入例項以選擇的特徵上選擇的點為界，被分在左右兩個超矩形區域中。重複以上過程直到子區域沒有例項為止。

下面以一個例子來說明kd樹的構建過程（例子來自《統計學習方法》-李航）：
給定一個二維空間的資料集 T = {(2,3),(5,4),(9,6),(4,7),(8,1),(7,2)}

首先選取k維空間的某一特徵（該例為第一個，理論上先選擇哪一個都是可行的，順序應該也是任意的，為了簡化描述過程，先選擇第一個特徵）。

所有資料集的第一個特徵為{2, 5, 9，4, 8, 7}，然後選取某個特徵值來確定超平面。一般情況下選取中點（事實證明選取中點並不是在任何情況下都是最佳的，通過中點構建出的kd樹在搜素時未必效率最高，例如在訓練集中兩個類別之間的相對距離較遠，且某一類的數量遠大於另一類的數量）（偶數個的情況下可以選靠後的點）。該例中中點值為7.以平面x(1) = 7為超平面，將空間分為左右兩部分（左空間小於中點值，右空間大於中點值），左空間點（2,3）（4,7）（5,4），再以第二個特徵值畫超平面，此時第二個特徵值的中點為4，以x（2）= 4為超平面再次劃分左半平面，以此類推。最終得到的劃分如下。

kd樹如下

kd樹構建完畢後，利用kd樹進行k近鄰搜尋。在kd樹上進行近鄰搜尋時，很多時候可以不進入某個父節點的另一個子節點（省去了另一個子節點資料點的查詢）。kd樹查詢的具體演算法如下：

演算法輸入：構造完畢的kd樹，需要分類的目標點x

演算法輸出：目標點x的k近鄰點

演算法過程：

1通過深度優先方法，在kd樹中搜索到目標點的所在的葉節點。（注：該搜尋並不能直接找到最近鄰點）搜尋方法如下，在搜尋每一層的過程中，根據該層的分割特徵的序數，來對目標點的該序數的特徵進行分類（決定是進入左子節點還是右子節點）。如目標點為（6,1），在根節點，分割特徵為x（1），目標點的x（1）為 6，6小於根節點的x（1）= 7，進入左子節點。第二層的分割特徵為x（2），目標點的x（2）為1, 1小於子節點的x（2）= 4，進入左子節點，最終得到葉節點（2,3）。

2 以該葉節點作為當前的NN（最近鄰）點，計算該葉節點與目標點的距離，並設為當前的最小距離。

3 計算該葉節點父節點與目標點的距離，若小於當前的最小距離，則更新當前的最小距離以及當前的NN點（被覆蓋的點先記錄下來）

4 判斷是否要進入父節點的另一個子節點：

判斷方法為：計算父節點在其分割特徵上的值距離目標點在該特徵上的值的距離，若該距離小於當前的最小距離，則進入另一個子節點，否則不進入。

既：檢查另一子節點對應的區域是否與以目標點為球心，以目標點與當前的NN點的距離為半徑的球體相交。若相交則進入，反正不進入。

a）若不進入另一個子節點，則以此父節點視為葉節點，重複步驟3。

b）若進入另一個子節點，則對右邊節點以下的子樹執行步驟1，找到新的葉節點。判斷是否要更新NN點與當前最小距離。隨後以該葉節點開始，重複步驟3。

以此類推，搜尋過程中將不斷向跟節點回退。在向根節點回退的過程中，不必再次進入從中退出的子節點，保證過程不會進入死迴圈。

5 當回退到根節點時（且以根節點與目標點的距離來更新最小距離與NN點後），最後的NN點即為x的最近鄰點。且記錄下來的所有NN點，對應的距離，最小的K個即為K近鄰點。

下面以Python來實現kd樹的生成及搜尋。

##Generate KD tree
def createTree(dataSet, layer = 0, feature = 2):
    length = len(dataSet)
    dataSetCopy = dataSet[:]
    featureNum = layer % feature
    dataSetCopy.sort(key = lambda x:x[featureNum])
    layer += 1
    if length == 0:
        return None
    elif length == 1:
        return {'Value':dataSet[0], 'Layer':layer, 'feature':featureNum,'Left':None, 'Right':None}
    elif length != 1:
        midNum = length // 2
        dataSetLeft = dataSetCopy[:midNum]
        dataSetRight = dataSetCopy[midNum+1:]
        return {'Value':dataSetCopy[midNum], 'Layer':layer, 'feature':featureNum, 'Left':createTree(dataSetLeft, layer)
                , 'Right':createTree(dataSetRight, layer)}

該部分為生成kd樹的函式。生成的樹以字典巢狀字典的形式表示。（每個節點有‘Left’和‘Right’兩個鍵，裡面的值為該分支下的子樹。有“Layer”鍵表示節點在樹的第幾層，“feature”表示該節點分割使用的是例項的第幾個特徵（由於python的特性，程式中的0表示x（1）））。

具體思路：當該函式的輸入僅有一個例項時，返回一個左右子節點均為None的節點（既表示這是一個葉節點），若不僅有一個例項，則根據層數和相應的特徵，將輸入的例項分割成兩個部分，該節點的左子節點為，遞迴本函式的返回值（輸入為例項分割的左半部分），右子節點為輸入為例項分割右半部的本函式的遞迴返回值。

以上面的例子生成的子樹如下：

{'Value': (7, 2), 'Layer': 1, 'feature': 0, 'Left': {'Value': (5, 4), 'Layer': 2, 'feature': 1, 'Left': {'Value': (2, 3), 'Layer': 3, 'feature': 0, 'Left': None, 'Right': None}, 'Right': {'Value': (4, 7), 'Layer': 3, 'feature': 0, 'Left': None, 'Right': None}}, 'Right': {'Value': (9, 6), 'Layer': 2, 'feature': 1, 'Left': {'Value': (8, 1), 'Layer': 3, 'feature': 0, 'Left': None, 'Right': None}, 'Right': None}}

#calculate distance
def calDistance(sourcePoint, targetPoint):
    length = len(targetPoint)
    sum = 0.0
    for i in range(length):
        sum += (sourcePoint[i] - targetPoint[i])**2
    sum = sqrt(sum)
    return sum


#A function use to find a point in KDtree
def findPoint(Tree, value):
    if  Tree !=None and Tree['Value'] == value:
        return Tree
    else:
        if Tree['Left'] != None:
            return findPoint(Tree['Left'], value) or findPoint(Tree['Right'], value)

以上兩個函式分別為距離計算函式（歐氏距離），以及根據節點的值，在kd樹中找到對應的節點的函式（包括值，層，分割特徵及左右子節點，準確的說已經不止是該節點，而是一顆子樹）。

#DFS algorithm
def dfs(kdTree, target,tracklist = []):
    tracklistCopy = tracklist[:]
    if not kdTree:
        return None, tracklistCopy
    elif not kdTree['Left']:
        tracklistCopy.append(kdTree['Value'])
        return kdTree['Value'], tracklistCopy
    elif kdTree['Left']:
        pointValue = kdTree['Value']
        feature = kdTree['feature']
        tracklistCopy.append(pointValue)
        #return kdTree['Value'], tracklistCopy
        if target[feature] <= pointValue[feature]:
            return dfs(kdTree['Left'], target, tracklistCopy)
        elif target[feature] > pointValue[feature]:
            return dfs(kdTree['Right'], target, tracklistCopy)

該函式為kd搜尋的一部分，既深度優先演算法部分。函式的返回值為最終找到的葉節點的值，以及從根節點到葉節點的跟蹤路徑(列表結構)。由於在本程式中，通過子節點去搜索父節點的複雜度極高，所以通過跟蹤路徑的方式來找尋父節點。在跟蹤路徑中，每一個值的上一個值，均為該值對應的節點的父節點。

#KDtree search algorithm
def kdTreeSearch(tracklist, target , usedPoint = [] , minDistance = float('inf'), minDistancePoint = None):
    tracklistCopy = tracklist[:]
    usedPointCopy = usedPoint[:]

    if not minDistancePoint:
        minDistancePoint = tracklistCopy[-1]

    if len(tracklistCopy) == 1:
        return minDistancePoint
    else:
        point = findPoint(kdTree, tracklist[-1])

        if calDistance(point['Value'], target) < minDistance:
            minDistance = calDistance(point['Value'], target)
            minDistancePoint = point['Value']
        fatherPoint = findPoint(kdTree, tracklistCopy[-2])
        fatherPointval = fatherPoint['Value']
        fatherPointfea = fatherPoint['feature']

        if calDistance(fatherPoint['Value'], target) < minDistance:
            minDistance = calDistance(fatherPoint['Value'], target)
            minDistancePoint = fatherPoint['Value']

        if point == fatherPoint['Left']:
            anotherPoint = fatherPoint['Right']
        elif point == fatherPoint['Right']:
            anotherPoint = fatherPoint['Left']

        if (anotherPoint == None or anotherPoint['Value'] in usedPointCopy or
            abs(fatherPointval[fatherPointfea] - target[fatherPointfea]) > minDistance):
            usedPoint = tracklistCopy.pop()
            usedPointCopy.append(usedPoint)
            return kdTreeSearch(tracklistCopy, target, usedPointCopy, minDistance, minDistancePoint)
        else:
            usedPoint = tracklistCopy.pop()
            usedPointCopy.append(usedPoint)
            subvalue, subtrackList = dfs(anotherPoint, target)
            tracklistCopy.extend(subtrackList)
            return kdTreeSearch(tracklistCopy, target, usedPointCopy, minDistance, minDistancePoint)

該部分為搜尋函式的剩餘部分，主要思想還是遞迴。函式的返回值為最近鄰點。若需要K近鄰點可以建立一個列表儲存每一個曾出現過的NN點，選出距離最小的K個即可。

完整程式如下：

from math import sqrt
from random import randint


##Generate KD tree
def createTree(dataSet, layer = 0, feature = 2):
    length = len(dataSet)
    dataSetCopy = dataSet[:]
    featureNum = layer % feature
    dataSetCopy.sort(key = lambda x:x[featureNum])
    layer += 1
    if length == 0:
        return None
    elif length == 1:
        return {'Value':dataSet[0], 'Layer':layer, 'feature':featureNum,'Left':None, 'Right':None}
    elif length != 1:
        midNum = length // 2
        dataSetLeft = dataSetCopy[:midNum]
        dataSetRight = dataSetCopy[midNum+1:]
        return {'Value':dataSetCopy[midNum], 'Layer':layer, 'feature':featureNum, 'Left':createTree(dataSetLeft, layer)
                , 'Right':createTree(dataSetRight, layer)}


#calculate distance
def calDistance(sourcePoint, targetPoint):
    length = len(targetPoint)
    sum = 0.0
    for i in range(length):
        sum += (sourcePoint[i] - targetPoint[i])**2
    sum = sqrt(sum)
    return sum

#DFS algorithm
def dfs(kdTree, target,tracklist = []):
    tracklistCopy = tracklist[:]
    if not kdTree:
        return None, tracklistCopy
    elif not kdTree['Left']:
        tracklistCopy.append(kdTree['Value'])
        return kdTree['Value'], tracklistCopy
    elif kdTree['Left']:
        pointValue = kdTree['Value']
        feature = kdTree['feature']
        tracklistCopy.append(pointValue)
        #return kdTree['Value'], tracklistCopy
        if target[feature] <= pointValue[feature]:
            return dfs(kdTree['Left'], target, tracklistCopy)
        elif target[feature] > pointValue[feature]:
            return dfs(kdTree['Right'], target, tracklistCopy)

#A function use to find a point in KDtree
def findPoint(Tree, value):
    if  Tree !=None and Tree['Value'] == value:
        return Tree
    else:
        if Tree['Left'] != None:
            return findPoint(Tree['Left'], value) or findPoint(Tree['Right'], value)

#KDtree search algorithm
def kdTreeSearch(tracklist, target , usedPoint = [] , minDistance = float('inf'), minDistancePoint = None):
    tracklistCopy = tracklist[:]
    usedPointCopy = usedPoint[:]

    if not minDistancePoint:
        minDistancePoint = tracklistCopy[-1]

    if len(tracklistCopy) == 1:
        return minDistancePoint
    else:
        point = findPoint(kdTree, tracklist[-1])

        if calDistance(point['Value'], target) < minDistance:
            minDistance = calDistance(point['Value'], target)
            minDistancePoint = point['Value']
        fatherPoint = findPoint(kdTree, tracklistCopy[-2])
        fatherPointval = fatherPoint['Value']
        fatherPointfea = fatherPoint['feature']

        if calDistance(fatherPoint['Value'], target) < minDistance:
            minDistance = calDistance(fatherPoint['Value'], target)
            minDistancePoint = fatherPoint['Value']

        if point == fatherPoint['Left']:
            anotherPoint = fatherPoint['Right']
        elif point == fatherPoint['Right']:
            anotherPoint = fatherPoint['Left']

        if (anotherPoint == None or anotherPoint['Value'] in usedPointCopy or
            abs(fatherPointval[fatherPointfea] - target[fatherPointfea]) > minDistance):
            usedPoint = tracklistCopy.pop()
            usedPointCopy.append(usedPoint)
            return kdTreeSearch(tracklistCopy, target, usedPointCopy, minDistance, minDistancePoint)
        else:
            usedPoint = tracklistCopy.pop()
            usedPointCopy.append(usedPoint)
            subvalue, subtrackList = dfs(anotherPoint, target)
            tracklistCopy.extend(subtrackList)
            return kdTreeSearch(tracklistCopy, target, usedPointCopy, minDistance, minDistancePoint)

trainingSet = [(2, 3), (5, 4), (9, 6), (4, 7), (8, 1), (7, 2)]
kdTree = createTree(trainingSet)
target = eval(input('Input target point:'))
value, trackList = dfs(kdTree, target)
nnPoint = kdTreeSearch(trackList, target)
print(nnPoint)

輸入目標點，即可返回最近鄰點的值。

該程式仍有大量不足之處，其中一點即為kd書的儲存結構並不是特別的優秀。每次在使用的時候也都需要使用查詢函式去找到value對應的節點，才能獲得節點的各種屬性。這大大增加了時間複雜度。其次，當資料量極大的時候，遞迴的層數過深，空間的複雜度也是很高的。