本文先從幾何意義上對奇異值分解SVD進行簡單介紹，然後分析了特徵值分解與奇異值分解的區別與聯絡，最後用python實現將SVD應用於推薦系統。

1.SVD詳解

SVD(singular value decomposition)，翻譯成中文就是奇異值分解。SVD的用處有很多，比如：LSA（隱性語義分析）、推薦系統、特徵壓縮（或稱資料降維）。SVD可以理解為：將一個比較複雜的矩陣用更小更簡單的3個子矩陣的相乘來表示，這3個小矩陣描述了大矩陣重要的特性。

1.1奇異值分解的幾何意義(因公式輸入比較麻煩所以採取截圖的方式)

2.SVD應用於推薦系統

資料集中行代表使用者user，列代表物品item，其中的值代表使用者對物品的打分。基於SVD的優勢在於：使用者的評分資料是稀疏矩陣，可以用SVD將原始資料對映到低維空間中，然後計算物品item之間的相似度，可以節省計算資源。

整體思路：先找到使用者沒有評分的物品，然後再經過SVD“壓縮”後的低維空間中，計算未評分物品與其他物品的相似性，得到一個預測打分，再對這些物品的評分從高到低進行排序，返回前N個物品推薦給使用者。

具體程式碼如下，主要分為5部分：

第1部分：載入測試資料集；

第2部分：定義三種計算相似度的方法；

第3部分：通過計算奇異值平方和的百分比來確定將資料降到多少維才合適，返回需要降到的維度；

第4部分：在已經降維的資料中，基於SVD對使用者未打分的物品進行評分預測，返回未打分物品的預測評分值；

第5部分：產生前N個評分值高的物品，返回物品編號以及預測評分值。

優勢在於：使用者的評分資料是稀疏矩陣，可以用SVD將資料對映到低維空間，然後計算低維空間中的item之間的相似度，對使用者未評分的item進行評分預測，最後將預測評分高的item推薦給使用者。