演算法導論中的一個題目，上次面試題中被擴充套件到了二維和二維環形陣列，記錄下以供參考。

一、    一維連續子陣列 最大和

    問題描述：給定一個一維陣列，求其中連續子陣列和的最大值。
    樣例輸入：{ 1， 5， -3， 6， -7}
    樣例輸出：9  // 1 + 5 + -3 + 6

    方法1：分治法，也是演算法導論中介紹的一種方法。選取陣列的中間元素a[n/2]，那麼子陣列要麼經過中間元素，要麼在a[0]和中間元素之間，要麼在中間元素和a[n]之間。如果經過中間元素，從中間元素開始向兩側尋找最大和子陣列，兩個數組合並即可得到跨中間元素的最大和子陣列。遞迴求解兩側最大子陣列情況。

    時間複雜度分析：T( n ) = 2*T( n/2 ) + Θ（n） ------->  Θ（n logn）

    這種演算法時間複雜度為n logn，雖然相比蠻力法更快，但依然不是最優。因為每次遞迴求解子陣列和時，都會產生重複求解的問題。

    下列方法2、3使用動態規劃對此問題進行改進，時間複雜度達到 O( n )。

    方法2：動態規劃。一維陣列的子陣列兩端都是不固定的，我們可以先假設一端已經確定位置，那麼只需確定另一端的位置即可。用輔助陣列 c[r] 儲存 a[0] -> a[r] 之間最大連續子陣列和，其中 a[r] 是子陣列的一個端點。當填充完c[0] -> c[n-1]後，c陣列中的最大值即是我們要求的結果。

    狀態轉移方程：c[r] = max( 0, c[r-1] ) + a[r]    // a[r]為一個端點，如果c[r]非0，那麼最大值應為 c[r] + a[r]

    這裡使用c陣列來儲存狀態，實際程式中只需要一個變數即可。因為c的後一個狀態只與前一個狀態有關。

#include <stdio.h>

int getMaxSubArraySum( int *a, int n)
{
	int max_sum=0, c=0;
	for( int i=0; i<n; i++) {
		c = (c>0?c:0) + a[i];     // 狀態轉移方程
		max_sum = c>max_sum ?c :max_sum;
	}
	
	return max_sum;
}

int main()
{
	int a[] = { 1,  5, -3, 6, -7};
	printf( "%d", getMaxSubArraySum( a, 5));
}
 

    方法3：動態規劃。這種方法與上一種方法類似，假設子陣列一端已經確定位置，然後進行另一端位置的確定，不過這裡使用的狀態轉移方程不同。用輔助陣列s[i]記錄 a[0] -> a[r] 元素之和，min記錄 s[0] 到 s[r-1] 的最小值。那麼 c[r] = s[r] - min 即以 a[r] 結束的子陣列的最小值。最後求得c陣列中的最大值即結果。

    同方法二，s和c只需要取兩個變數即可，沒有必要設定為兩個陣列。

int getMaxSubArraySum( int *a, int n)
{
	int max_sum=0, s=0, min=0;
	for( int i=0; i<n; i++) {
		s += a[i];            // sum of a[0...i]
		min = s<min ?s :min;
		max_sum = s-min>max_sum ?s-min :max_sum;
	}
	
	return max_sum;
}

    因為至少要遍歷陣列一遍，因此方法2、3的時間複雜度已達到最低 O( n ) 要求。

二、    一維環形子陣列 最大和

這裡說的一維環形子樹組是指子陣列可以跨越a[0] 與 a[n-1]形成子陣列。例如輸入為{ -4， 3， 6， -9， 5}，那麼輸出應為10，即子陣列為{ 5，-4，3，6}。

    解決方法：分治+動態規劃。一維環形子陣列相比於前面只是增加了環形而已，因此我們將此問題分解為兩個子問題考慮。第1種情況是子陣列不跨越 a[0]、a[n-1]，這種情況是我們上面解決過的；第2種情況是跨越 a[0]、a[n-1]，我們可以先求解 a[0] -> a[n-1] 最小和子陣列min_sum，使用陣列總和sum - min_sum即可得到第二種情況的最大值。 然後返回1、2情況較大的值即可。

    下面程式碼沿用一的方法2，增加狀態轉移方程 s[r] = min( 0, s[r-1] ) + a[r]，s[r] 記錄以 a[r] 結束的最小和子陣列。增加min_sum記錄 子陣列最小和，sum記錄陣列總的和。

#include <stdio.h>

int getMaxSubArraySum( int *a, int n)
{
	int max_sum=0, c=0, min_sum=0, s=0, sum=0;
	for( int i=0; i<n; i++) {
		c = (c>0?c:0) + a[i];     // 最大和狀態轉移方程
		max_sum = c>max_sum ?c :max_sum;
		
		s = (s<0?s:0) + a[i];     // 最小和狀態轉移方程
		min_sum = s<min_sum ?s :min_sum;
		
		sum+=a[i];
	}
	
	if( max_sum>sum-min_sum) return max_sum;
	return sum-min_sum;
}

int main()
{
	int a[] = { -4, 3, 6, -9, 5};
	printf( "%d", getMaxSubArraySum( a, 5));
}

三、    二維連續子陣列 最大和

    問題描述：給定一個二維陣列，求其中連續子陣列和的最大值。

    樣例輸入： 1， 5， -3，   6， -7
                      3， 5， -9， -4，  6
                     -8， 4， 0， 12， -3
                      3，-1， 5， -5，   8

    樣例輸出：20   //  4， 0， 12， -3
                            // -1， 5， -5，  8

    解決方法：暴力降維法。這種方法時間複雜度為O(n^3)，暫時沒有找到時間複雜度更低的方法（理論時間複雜度下限為O(n^2) ），若有時間複雜度更低的方法，還望不吝賜教。

    二維子陣列的四面都可以進行擴充套件，如果使用暴力法的話需要 O( n^4) 時間複雜度，因此同上，我們選擇固定其兩端不變化，然後使用 一維陣列 的解決方案進行求解。見下圖：

#include <stdio.h>
#define max(A,B) ( (A)>(B) ?(A) :(B) )

int getMaxSubArraySum( int *a, int n)
{
	int max_sum=0, c=0, min_sum=0, s=0, sum=0;
	for( int i=0; i<n; i++) {
		c = (c>0?c:0) + a[i];     // 最大和狀態轉移方程
		max_sum = max( c, max_sum);
	}
	
	return max_sum;
}

int getMaxSubMatrixSum( int *a, int m, int n)
{
	int max_sum=0, sum[m];
	
	for( int i=0; i<n; i++) {
		for( int j=i; j<n; j++) {
			for( int z=0; z<m; z++) {
				if( j==i) sum[z]=0;   // j=i 重新計算 sum of a[i..j]
				sum[z] += a[z*n+j];   // 使用偏移, 轉化為二維陣列
			}
			max_sum = max( getMaxSubArraySum( sum, m), max_sum);
		}
	}
	return max_sum;
}

int main()
{
	int a[4][5] = { {  1, 5, -3,  6, -7},
		            {  3, 5, -9, -4,  6},
				    { -8, 4,  0, 12, -3},
				    {  3,-1,  5, -5,  8} };
	printf( "%d", getMaxSubMatrixSum( (int*)a, 4, 5));
}

四、    二維環形子陣列 最大和

相比於三問題增加了環形，其實我們僅需對上方程式碼做如下改進即可：j的取值不做≥i的限制，j小於i代表子陣列跨越 a[n-1] 與 a[0] ，這樣實現了列方向環形。使用問題二中的 getMaxSubArraySum 函式作為求解一維最大環形子陣列，實現了行方向上的環形。

#include <stdio.h>
#define max(A,B) ( (A)>(B) ?(A) :(B) )

int getMaxSubArraySum( int *a, int n)
{
	int max_sum=0, c=0, min_sum=0, s=0, sum=0;
	for( int i=0; i<n; i++) {
		c = (c>0?c:0) + a[i];     // 最大和狀態轉移方程
		max_sum = c>max_sum ?c :max_sum;
		
		s = (s<0?s:0) + a[i];     // 最小和狀態轉移方程
		min_sum = s<min_sum ?s :min_sum;
		
		sum+=a[i];
	}
	
	if( max_sum>sum-min_sum) return max_sum;
	return sum-min_sum;
}

int getMaxSubMatrixSum( int *a, int m, int n)
{
	int max_sum=0, sum[m];
	
	for( int i=0; i<n; i++) {
		for( int j=i; j<n+i; j++) {           // j = j % n
			for( int z=0; z<m; z++) {
				if( j==i) sum[z]=0;   // j=i 重新計算 sum of a[i..j]
				sum[z] += a[z*n+j%n];   // 使用偏移, 轉化為二維陣列
			}
			max_sum = max( getMaxSubArraySum( sum, m), max_sum);
		}
	}
	return max_sum;
}

int main()
{
	int a[4][5] = { {  1, 5, -3,  6, -7},
		            {  3, 5, -9, -4,  6},
				    { -8, 4,  0, 12, -3},
				    {  3,-1,  5, -5,  8} };
	printf( "%d", getMaxSubMatrixSum( (int*)a, 4, 5));
}

// output: 25
//  6, -7,  1, 5
// -4,  6,  3, 5
// 12, -3, -8, 4
// -5,  8, 3, -1