Description

有N+M個問題，N個問題的答案是Yes，M個問題的答案是No

現在將這N+M個問題隨機排列
你需要按順序回答，每回答一個問題就會告訴你這道題的正確答案

求最優策略下答對問題的期望數量
答案對998244353取模
n,m<=5e5

Solution

顯然，最優策略一定是哪一個多選哪個

假設當前有x個問題是Yes，y個問題是No

不妨用點(x,y)表示

那麼原問題就轉換到網格圖上

如圖，N=5,M=4
橫座標看做N，縱座標看做M

一種題目的排列就對應了從右上角到左下角的一條路徑

紅線就是y=x的直線
紅線下方表示y<x$y$

那麼只要經過一次藍色的邊都代表答對一次

可以發現無論路徑怎麼走，經過的藍邊都是max(n,m)次

此時只剩下當y=x時我們怎麼選
當y=x時我們會亂選一個，1/2機會對

那麼統計y=x上每個點經過它的路徑數，乘上1/2

再除以總路徑數,加上max(n,m)就是答案

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
 

#include <algorithm>
#define mo 998244353
#define LL long long
#define N 1000005
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
LL js[N],ny[N];
LL ksm(LL k,LL n)
{
    LL s=1;
    for(;n;k=k*k%mo,n>>=1) if(n&1) s=s*k%mo;
    return
 
 s;
}
LL C(LL n,LL m)
{
    return js[n]*ny[m]%mo*ny[n-m]%mo;
}
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    if(n<m) swap(n,m);
    js[0]=1;
    fo(i,1,n*2) js[i]=js[i-1]*(LL)i%mo;
    ny[2*n]=ksm(js[2*n],mo-2);
    fod(i,2*n-1,0) ny[i]=ny[i+1]*(LL)(i+1)%mo;
    LL ans=0;
    fo(i,1,m) 
    {
        ans=(ans+C(n+m-i-i,n-i)*C(i+i,i)%mo)%mo;
    }
    ans=ans*ny[2]%mo*ksm(C(n+m,m),mo-2)%mo;
    printf("%lld\n",(ans+n)%mo);
}