約瑟夫環這個在一開始看的時候是一個相當蛋疼的問題，本節將為大家講述約約瑟夫環利用迴圈連結串列以及遞迴來進行求解

**約瑟夫環問題的原來描述為，設有編號為1，2，……，n的n(n>0)個人圍成一個圈，從第1個人開始報數，報到m時停止報數，報m的人出圈，再從他的下一個人起重新報數，報到m時停止報數，報m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈為止。當任意給定n和m後，設計演算法求n個人出圈的次序。 稍微簡化一下。
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
思路：容易想到的就是用環連結串列來做，構建一個環連結串列，每個結點的編號為0, 1, …… n-1。每次從當前位置向前移動m-1步，然後刪除這個結點。最後剩下的結點就是勝利者。**

我們先來非遞迴的演算法

void JosephusProblem_Solution1(int n, int m)    //n個人，每m退出
{
    int  i = 0;
    LinkList *pm;
    LinkList *pcur;
    LinkList *head = (LinkList *)malloc(sizeof(LinkList));
    LinkList *plast;

    pcur = head;
    pcur->next = head;
    head->data = 0;

    //構造迴圈連結串列
    for (i = 1
 
; i <10;i++)
    {
        pm = (LinkList *)malloc(sizeof(LinkList));
        pm->data = i;
        pcur->next = pm;
        pcur = pm;
    }
    pcur->next = head;

//over
    pcur = head;

    while(pcur != pcur->next)
    {
        //前進m-1步
        for (i = 0;i<m-1;i++)
        {
            plast =
 
 pcur;
            pcur = pcur->next;
        }
        //刪除
        plast->next = pcur->next;
        free(pcur);
        pcur = plast->next;
    }

    printf("%d ",pcur->next->data);
}

這樣的效率顯然不是最高的，時間複雜度o（mn），

接下來看遞迴演算法

公里公道的說，這個遞迴演算法真不好想。

我們先反過來想，如果只有一個人，那麼他一定就是我們要求的，如果有兩個人，那麼他一定跟如果只有一個人的那種情況有關，通過只有一個人我們一定會得到一些線索，同理，我們算n個人的約瑟夫環，必然跟n-1個人的約瑟夫環有關，……一定跟2個人的有關，一定跟一個人的有關。那麼到底有什麼規律呢？這是我們即將要討論的問題

我們假設m = 8 ， n = 3

1>>很顯然第一個被刪除的數是（m-1）%n

2>>假設第二輪開始的數是K，那麼只有n-1個人

    K -------> 0
    K+1------> 1
    K+2------> 2    //假設最終他是勝利者
    ...
    k-2-----> n-2

那麼我就知道，這n-1個人，如果說我們現在知道了勝利者，他的編號是X，那麼說他在連結串列中一開始是（k+x）%n，
其中， k = m%n，帶入式子我們知道其實對於n個人，勝利者的編號是（X+m）%n

還記得我們的X是什麼嗎？？？—>n-1個人時的勝利者

那麼簡而言之，要求n個人最終的勝利者，我們只需要知道n-1個人時候的情況就行了，同理要知道n-1個人必須先求出n-2個人………..必須先求出1個人的情況，一個人編號自然是0，轉化成程式碼就是

fun(1) = 0;
fun(n) = ( fun(n-1) + m ) %n;

int JosephusProblem_Solution2(int n, int m )
{
    if (n==1)
    {
        return 0;
    }
    return (JosephusProblem_Solution2(n-1, m) + m) % n;

}