正態分佈

對於正態分佈,首先補充其理論知識,然後我們根據<深入淺出統計學>中的計算步驟,進行程式設計實現.

正態分佈（Normal distribution），也稱“常態分佈”，又名高斯分佈（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二項分佈的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度匯出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。
正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。
若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分佈，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函式為正態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分佈是標準正態分佈。

定理

由於一般的正態總體其影象不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。
為了便於描述和應用，常將正態變數作資料轉換。將一般正態分佈轉化成標準正態分佈。
若
服從標準正態分佈,通過查標準正態分佈表就可以直接計算出原正態分佈的概率值。故該變換被稱為標準化變換。（標準正態分佈表：標準正態分佈表中列出了標準正態曲線下從-∞到X（當前值）範圍內的面積比例。）

標準正態分佈

當 時，正態分佈就成為標準正態分佈

分佈曲線的圖形特徵

集中性：正態曲線的高峰位於正中央，即均數所在的位置。
對稱性：正態曲線以均數為中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交。
均勻變動性：

關於μ對稱，並在μ處取最大值，在正（負）無窮遠處取值為0，在μ±σ處有拐點，形狀呈現中間高兩邊低，正態分佈的概率密度函式曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。

正態概率計算三步走

1. 確定分佈與範圍
   如果正態分佈適用於遇到的情況,則看看是否能求出均值和標準差.只要先得知這些資訊,才能求出概率;還需要弄清楚要求的是哪一部分面積
2. 資料標準化
   使資料標準化,從而得到一個標準正態曲線.下面我會給出相應的程式碼.
3. 查詢概率
   在原書中所寫的是在概率表中直接查詢相應的概率,但是在這裡我們只需要程式設計求得即可,不再需要這麼麻煩的操作.

例題與程式碼

能不能找到心上人-朱莉的相親問題

問: 朱莉有一個問題，她希望理想中的伴侶能夠比她高，最好能夠比穿上五英寸高跟鞋的她還要高，這樣她就可以自在的穿高跟鞋了。我們查詢資料，統計邦的男生身高服從於N(71，20.25)，而朱莉身高64英寸,那麼在穿和不穿高跟鞋的兩種情況下，朱莉的約會者比她高的概率是多少呢？

答: 此處我們使用scipy.stats中的norm類解決該問題,在預設情況下norm為X~N(0，1)的標準正態分佈,如果有需要的話,比如我們想要直接計算X~N(3,4^2)的正態分佈,我們也可以使用norm_34=norm(3,4)類似的語法來建立我們需要的norm類,要注意的是前面的3 為 期望μ,而方差σ = 4 。

from scipy.stats import norm
# 對於不服從標準正態分佈的函式我們需要先進行標準化,也就是Z = (X - μ) / σ 
# math.sqrt(20.25) = 4.5 
print("約會者比朱莉高的概率為:{0:.3f}".format(1 - norm.cdf((64-71)/4.5)))
print("約會者比穿五英寸高根鞋的朱莉高的概率為:{0:.3f}".format(1 - norm.cdf((69-71)/4.5)))

約會者比朱莉高的概率為:0.940
約會者比穿五英寸高根鞋的朱莉高的概率為:0.672

看來我們的朱莉能夠很快找到符合擇偶標準的心上人的,既然如此,我們還是回到語法上來,更加深入的學習一下語法問題吧.更多語法問題請參考scipy的norm 模組,不過鑑於我們不需要知道這麼多,所以列出常用函式如下:

# 計算負無窮到x的概率
print(norm.cdf(-0.15))
# 計算負無窮到點的概率
print(norm.cdf([-0.15,0.5]))
print(norm.cdf([-0.15,0.15]))
# 概率密度函式
print(norm.pdf(0.15))

0.4403823076297575
[0.44038231 0.69146246]
[0.44038231 0.55961769]
0.39447933090788895

愛情就像過山車-不止一個事件

最近婚禮籌辦市場辦的紅火,德克推出了”愛情過山車”專案,可是過山車載重超過380磅就會有危險.我們的新郎和新娘還能順利的坐上過山車嗎?

對於之前朱莉的相親問題,她的相親物件只有一個,因此我們只要計算一個獨立事件的正態分佈就可以了.但是現在我們要計算的是新郎和新娘兩個人體重的正態分佈,來確保他們的綜合體重不超過380磅,這個時候又要這麼辦呢?

對於計算兩個事件的綜合概率,我們首先要搞清楚的是這兩個事件是否獨立,然後要計算的概率分佈型別.首先對於新郎和新娘的體重這兩個事件而言,應該屬於兩個獨立事件.我們需要按照兩個獨立變數去求解.而綜合體重也屬於連續資料,而且也是符合正態分佈的.那麼我們要求解的就是兩個獨立變數的綜合正態分佈.對於兩個獨立事件的正態分佈,其期望與方差的計算方式與之前四五章的離散概率的計算是一樣的

E(X+Y) = E(X)+E(Y)
E(X-Y) = E(X)-E(Y)
Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)
Var(X-Y) = Var(X)+Var(Y)

現在已知新郎的體重:Y~N(190,500),新娘體重:X~N(150,400),那麼兩者綜合體重小於380的概率為:

根據上面的雙獨立變數的期望與方差計算,已知新郎和新娘兩人體重的正態分佈,那麼可以得到,兩人綜合體重的正態分佈為 (X+Y)~N(340,900),由程式碼計算得到:

import math
print("第一種計算方式先化為標準分,然後計算",norm.cdf((380-340)/math.sqrt(900)))
print("第二種計算方式:直接宣告一個(X+Y)~N(340,900)的norm類")
norm_340_30 = norm(340,30)
print(norm_340_30.cdf(380))

第一種計算方式先化為標準分,然後計算 0.9087887802741321
第二種計算方式:直接宣告一個(X+Y)~N(340,900)的norm類
0.9087887802741321

替代計算

泊松分佈與正態分佈

當二項分佈的n很大而p很小時，泊松分佈可作為二項分佈的近似，其中λ為np。通常當n≧20,p≦0.05時，就可以用泊松公式近似得計算。
事實上，泊松分佈正是由二項分佈推導而來的，具體推導過程可參見百度百科-泊松分佈詞條相關部分。其對應關係如下：

X ~ Po(λ)
X ~ N(λ ,λ)
μ = λ  = σ^2

二項分佈與正態分佈

僅僅從數學角度上來講，當np，nq雙雙大於 5 時，二項分佈也可以通過近似正態分佈來計算。但是因為兩者一個為連續性分佈，一個為離散型分佈，所以必須要進行連續性修正。

劃分方式十分簡單，當需要計算二項分佈的整數時，只需要計算該整數上下0.5的連續變數即可。換句話也就數說,正態分佈中[n-0.5，n+0.5]這一連續區間的概率即為 二項分佈中 n這一整數所對應的概率。

踏破鐵鞋無覓處-只因沒有計算機？

對於程式設計計算的我們而言，使用正態分佈近似來簡化二項分佈的計算其實已經是一種得不償失的方法。對於計算機而言，即使很大的正態分佈也可以在一秒鐘之內算完。不過這並不代表著我們就不需要了解正態分佈近似二項分佈這一數學性質了。所以即使是已經有計算機，不再需要簡化運算，而更求精度與編寫效率的我們，基本數學知識也是必不可少的。

參考