射線法是一種很簡單直觀的判斷平面內點是否在多邊形內的方法。除了射線法還有很多其他的方法，今天就再介紹一種通過迴轉數來判斷的方法。

平面中的閉合曲線關於一個點的迴轉數（又叫卷繞數），代表了曲線繞過該點的總次數。下面這張圖動態演示了迴轉數的概念：圖中紅色曲線關於點（人所在位置）的迴轉數為 2。

迴轉數是拓撲學中的一個基本概念，具有很重要的性質和用途。本文並不打算在這一點上展開論述，這需要具備相當的數學知識，否則會非常乏味和難以理解。我們暫時只需要記住迴轉數的一個特性就行了：當迴轉數為 0 時，點在閉合曲線外部。

對於給定的點和多邊形，迴轉數應該怎麼計算呢？

1. 用線段分別連線點和多邊形的全部頂點。

   

2. 計算所有點與相鄰頂點連線的夾角。

   

3. 計算所有夾角和。注意每個夾角都是有方向的，所以有可能是負值。

   

4. 最後根據角度累加值計算迴轉數。看過本文開頭的介紹，很容易理解 360°（2π）相當於一次迴轉。

思路介紹完了，下面兩點是實現中需要留意的問題。

1. JavaScript 的數只有 64 位雙精度浮點這一種。對於三角函式產生的無理數，浮點數計算不可避免會造成一些誤差，因此在最後計算迴轉數需要做取整操作。

2. 通常情況下，平面直角座標系內一個角的取值範圍是 -π 到 π 這個區間，這也是 JavaScript 三角函式 Math.atan2() 返回值的範圍。但 JavaScript 並不能直接計算任意兩條線的夾角，我們只能先計算兩條線與 X 正軸夾角，再取兩者差值。這個差值的結果就有可能超出 -π 到 π 這個區間，因此我們還需要處理差值超出取值區間的情況。

程式碼實現：

  /**
   * @description 迴轉數法判斷點是否在多邊形內部
   * @param {Object} p 待判斷的點，格式：{ x: X座標, y: Y座標 }
   * @param {Array} poly 多邊形頂點，陣列成員的格式同 p
   * @return {String} 點 p 和多邊形 poly 的幾何關係
   */
  function windingNumber(p, poly) {
    var px = p.x,
        py = p.y,
        sum = 0

    for(var i = 0, l = poly.length, j = l - 1
 
; i < l; j = i, i++) {
      var sx = poly[i].x,
          sy = poly[i].y,
          tx = poly[j].x,
          ty = poly[j].y

      // 點與多邊形頂點重合或在多邊形的邊上
      if((sx - px) * (px - tx) >= 0 && (sy - py) * (py - ty) >= 0 && (px - sx) * (ty - sy) === (py - sy) * (tx - sx)) {
        return 'on'
      }

      // 點與相鄰頂點連線的夾角
      var angle = Math.atan2(sy - py, sx - px) - Math.atan2(ty - py, tx - px)

      // 確保夾角不超出取值範圍（-π 到 π）
      if(angle >= Math.PI) {
        angle = angle - Math.PI * 2
      } else if(angle <= -Math.PI) {
        angle = angle + Math.PI * 2
      }

      sum += angle
    }

    // 計算迴轉數並判斷點和多邊形的幾何關係
    return Math.round(sum / Math.PI) === 0 ? 'out' : 'in'
  }

第一篇：射線法理論
第二篇：射線法實現
第三篇：迴轉數法實現