先引用我一直很膜拜的牛人MoreWindows在堆排序中的一段內容，該內容詳細講述了最小堆，以及在最小堆中新增/刪除元素的原理。

二叉堆的定義

二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。

二叉堆滿足二個特性：

1．父結點的鍵值總是大於或等於（小於或等於）任何一個子節點的鍵值。

2．每個結點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

當父結點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時為最大堆。當父結點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時為最小堆。下圖展示一個最小堆：

由於其它幾種堆（二項式堆，斐波納契堆等）用的較少，一般將二叉堆就簡稱為堆。

堆的操作——插入刪除

堆的儲存

一般都用陣列來表示堆，i結點的父結點下標就為(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別為2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。

下面先給出《資料結構C++語言描述》中最小堆的建立插入刪除的圖解，再給出本人的實現程式碼，最好是先看明白圖後再去看程式碼。

下面的內容是我自己編寫的一個在最小堆上新增、刪除元素的演算法示例。首先建立了一個堆操作的介面，方便以後對堆操作的擴充套件。

public interface HeapOperation {
	int[] addNumber(int[] array, int length, int num);
	int[] deleteNumber(int[] array, int length);
}
 

1.最小堆新增元素

public int[] addNumber(int[] array, int length, int num) {
		int[] newArray = new int[length + 1];
		for(int i = 0; i < length; i++) {
			newArray[i] = array[i];
		}
		newArray[length] = num;
		MinHeapFixup(newArray, length + 1);
		return newArray;
	}
 

private void MinHeapFixup(int[] array, int length) {
		int i, j, temp;
		temp = array[length - 1];
		i = length - 1;
		j = (i - 1) / 2;
		while(j >= 0 && i != 0) {
			if(array[j] < array[i]) {
				break;
			}
			array[i] = array[j];
			i = j;
			j = (i - 1) / 2;
		}
		array[i] = temp;
	}

private void MinHeapFixup(int[] array, int i) {
		int k = i - 1;
		for(int j = (k-1)/2; j >= 0 && k!= 0 && array[j] > array[k]; k = j, j = (k-1)/2) {
			swap(array, k, j);
		}
	}

其中swap函式是將陣列array的腳標為k和j的兩個元素進行交換。

private void swap(int[] array, int i, int j) {
		array[i] = array[i] + array[j];
		array[j] = array[i] - array[j];
		array[i] = array[i] - array[j];
	}

2.最小堆刪除元素

public int[] deleteNumber(int[] array, int length) {
		swap(array, 0, length - 1);
		return MixHeapFixdown(array, 0, length - 1);
	}

private int[] MixHeapFixdown(int[] array, int i, int n) {
		int temp = array[i];
		int j = 2 * i + 1;
		int[] newArray = new int[n];
		while(j < n) {
			if(j + 1 < n && array[j] > array[j+1]) {
				j++;
			}
			if(array[j] >= temp) {
				break;
			}
			array[i] = array[j];
			i = j;
			j = 2 * i + 1;
		}
		array[i] = temp;
		for(j = 0; j < n; j++) {
			newArray[j] = array[j];
		}
		return newArray;
	}

對上述演算法進行驗證，結果與理論結果一致。

public class Client {
	private static void print(int[] array) {
		for(int i = 0; i < array.length; i++) {
			System.out.print(array[i] + " ");
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		int[] array = {10, 40, 30};
		MinHeapOperation mho = new MinHeapOperation();
		int[] arrayForAdd = mho.addNumber(array, array.length, 15);
		print(arrayForAdd);
		System.out.println();
		int[] arrayForDelete = mho.deleteNumber(arrayForAdd, arrayForAdd.length);
		print(arrayForDelete);
	}

}