線性DP比較經典的問題包括最大子段和、最長公共子序列、最長迴文子序列、最長遞增子序列、最長公共遞增子序列等。

最大不相交欄位和（poj 2479）

思路大概就是分別求[0~i-1]的最大子段和以及[i~n-1]的最大子段和,再加起來求最大的就可以了.

時間複雜度O(n).

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;

int a[50001];
int Left[50001];
int Right[50001];

int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i = 0;i<n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);

        Left[0] = a[0];
        for(int i = 1;i<n;++i){
            if(Left[i-1] < 0)
                Left[i] = a[i];
            else
                Left[i] = Left[i-1] + a[i];
        }
        for(int i = 1;i < n;i++)
            Left[i] = max(Left[i],Left[i-1]);

        Right[n-1] = a[n-1];
        for(int i = n-2;i>=0;--i){
            if(Right[i+1] < 0)
                Right[i] = a[i];
            else
                Right[i] = Right[i+1] + a[i];
        }
        for(int i = n-2;i>=0;i--)
            Right[i] = max(Right[i],Right[i+1]);

            int Inf = -1000000;

            for(int i=1;i<n;i++)
                Inf = max(Inf,Left[i-1] + Right[i]);

             printf("%d\n",Inf);

    }
    return 0 ;
}

 

求最大公共子序列(LCS)的長度 (poj 1458)

dp[i,j]表示X的前i個字元和Y的前j個字元的最長公共子序列長度,  後面的就好理解了,

轉移方程 :

if(i==0||j==0) dp[i,j]=0;

else if(X[i]== Y[i]) dp[i,j] = dp[i-1,j-1]+1;

else dp[i,j]= max (dp[i-1,j],dp[j-1,i]);

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define N 500
int dp[N][N]={0};

int main(){
    int len1,len2;
    string str1,str2;
    while(cin>>str1>>str2){
        len1 = str1.length();
        len2 = str2.length();

        for(int i = 1;i<=len1;i++){
            for(int j = 1;j <= len2;j++){
                if(str1[i-1] == str2[j-1])
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[len1][len2]);
    }

    return 0 ;
}
 

End.