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相關分析（Analysis of Correlation）是網站分析中經常使用的分析方法之一。通過對不同特徵或資料間的關係進行分析，發現業務運營中的關鍵影響及驅動因素。並對業務的發展進行預測。本篇文章將介紹5種常用的分析方法。在開始介紹相關分析之前，需要特別說明的是相關關係不等於因果關係。

協方差只能對兩組資料進行相關性分析，當有兩組以上資料時就需要使用協方差矩陣。下面是三組資料x，y，z，的協方差矩陣計算公式。

其中rxy表示樣本相關係數，Sxy表示樣本協方差，Sx表示X的樣本標準差，Sy表示y的樣本標準差。下面分別是Sxy協方差和Sx和Sy標準差的計算公式。由於是樣本協方差和樣本標準差，因此分母使用的是n-1。

Sxy樣本協方差計算公式：

Sx樣本標準差計算公式：

Sy樣本標準差計算公式：

下面是計算相關係數的過程，在表中我們分別計算了x，y變數的協方差以及各自的標準差，並求得相關係數值為0.93。0.93大於0說明兩個變數間正相關，同時0.93非常接近於1，說明兩個變數間高度相關。

在實際工作中，不需要上面這麼複雜的計算過程，在Excel的資料分析模組中選擇相關係數功能，設定好x，y變數後可以自動求得相關係數的值。在下面的結果中可以看到，廣告曝光量和費用成本的相關係數與我們手動求的結果一致。

相關係數的優點是可以通過數字對變數的關係進行度量，並且帶有方向性，1表示正相關，-1表示負相關，可以對變數關係的強弱進行度量，越靠近0相關性越弱。缺點是無法利用這種關係對資料進行預測，簡單的說就是沒有對變數間的關係進行提煉和固化，形成模型。要利用變數間的關係進行預測，需要使用到下一種相關分析方法，迴歸分析。

4、一元迴歸及多元迴歸

第四種相關分析方法是迴歸分析。迴歸分析（regression analysis)是確定兩組或兩組以上變數間關係的統計方法。迴歸分析按照變數的數量分為一元迴歸和多元迴歸。兩個變數使用一元迴歸，兩個以上變數使用多元迴歸。進行迴歸分析之前有兩個準備工作，第一確定變數的數量。第二確定自變數和因變數。我們的資料中只包含廣告曝光量和費用成本兩個變數，因此使用一元迴歸。根據經驗廣告曝光量是隨著費用成本的變化而改變的，因此將費用成本設定為自變數x，廣告曝光量設定為因變數y。

以下是一元迴歸方程，其中y表示廣告曝光量，x表示費用成本。b0為方程的截距，b1為斜率，同時也表示了兩個變數間的關係。我們的目標就是b0和b1的值，知道了這兩個值也就知道了變數間的關係。並且可以通過這個關係在已知成本費用的情況下預測廣告曝光量。

這是b1的計算公式，我們通過已知的費用成本x和廣告曝光量y來計算b1的值。

以下是通過最小二乘法計算b1值的具體計算過程和結果，經計算，b1的值為5.84。同時我們也獲得了自變數和因變數的均值。通過這三個值可以計算出b0的值。

以下是b0的計算公式，在已知b1和自變數與因變數均值的情況下，b0的值很容易計算。

將自變數和因變數的均值以及斜率b1代入到公式中，求出一元迴歸方程截距b0的值為374。這裡b1我們保留兩位小數，取值5.84。

在實際的工作中不需要進行如此繁瑣的計算，Excel可以幫我們自動完成並給出結果。在Excel中使用資料分析中的迴歸功能，輸入自變數和因變數的範圍後可以自動獲得b0（Intercept）的值362.15和b1的值5.84。這裡的b0和之前手動計算獲得的值有一些差異，因為前面用於計算的b1值只保留了兩位小數。

這裡還要單獨說明下R Square的值0.87。這個值叫做判定係數，用來度量回歸方程的擬合優度。這個值越大，說明迴歸方程越有意義，自變數對因變數的解釋度越高。

將截距b0和斜率b1代入到一元迴歸方程中就獲得了自變數與因變數的關係。費用成本每增加1元，廣告曝光量會增加379.84次。通過這個關係我們可以根據成本預測廣告曝光量資料。也可以根據轉化所需的廣告曝光量來反推投入的費用成本。獲得這個方程還有一個更簡單的方法，就是在Excel中對自變數和因變數生成散點圖，然後選擇新增趨勢線，在新增趨勢線的選單中選中顯示公式和顯示R平方值即可。

以上介紹的是兩個變數的一元迴歸方法，如果有兩個以上的變數使用Excel中的迴歸分析，選中相應的自變數和因變數範圍即可。下面是多元迴歸方程。

5、資訊熵及互資訊

最後一種相關分析方法是資訊熵與互資訊。前面我們一直在圍繞消費成本和廣告曝光量兩組資料展開分析。實際工作中影響最終效果的因素可能有很多，並且不一定都是數值形式。比如我們站在更高的維度來看之前的資料。廣告曝光量只是一個過程指標，最終要分析和關注的是使用者是否購買的狀態。而影響這個結果的因素也不僅僅是消費成本或其他數值化指標。可能是一些特徵值。例如使用者所在的城市，使用者的性別，年齡區間分佈，以及是否第一次到訪網站等等。這些都不能通過數字進行度量。

度量這些文字特徵值之間相關關係的方法就是互資訊。通過這種方法我們可以發現哪一類特徵與最終的結果關係密切。下面是我們模擬的一些使用者特徵和資料。在這些資料中我們忽略之前的消費成本和廣告曝光量資料，只關注特徵與狀態的關係。

對於資訊熵和互資訊具體的計算過程請參考文章《決策樹分類和預測演算法的原理及實現》，這裡直接給出每個特徵的互資訊值以及排名結果。經過計算城市與購買狀態的相關性最高，所在城市為北京的使用者購買率較高。

到此為止5種相關分析方法都已介紹完，每種方法各有特點。其中圖表方法最為直觀，相關係數方法可以看到變數間兩兩的相關性，迴歸方程可以對相關關係進行提煉，並生成模型用於預測，互資訊可以對文字類特徵間的相關關係進行度量。