並查集

一、演算法介紹：

並查集（Union-find Sets）是一種非常精巧而實用的資料結構，它主要用於處理一些不相交集合的合併問題。

並查集的基本操作有兩個：

1：合併

union(x, y)：把元素 x 和元素 y 所在的集合合併，要求 x 和 y 所在的集合不相交，如果兩個集合相交則不合並。

2：查詢

find(x)：找到元素 x 所在的集合的代表，該操作常用於判斷兩個元素是否位於同一個集合，只要將它們各自的代表比較一下就可以了。

並查集類似一個森林，是用樹形結構來實現的，所以以下的講解用樹形結構來構造模型：

事先宣告：

（1）一個集合對應一棵樹。

（2）一個集合中的元素對應一個節點。

二、演算法實現：

一、初始化：

我們用n個節點表示n個元素，有一點要特別注意：一個節點，若它的父節點等於它本身，則說明這個節點是根節點。

定義陣列 per[], per[x]代表x的父節點。初始化時我們把per[x] = x，相當於每個節點都是獨立的根節點（每個根節點都代表一個集合）

//n 代表一共有n個元素（n個節點）
for(int i = 1; i <= n; ++i){
	per[i] = i;
}

二、查詢：

find（x），查詢元素x所在的集合，即查詢節點x在哪一棵樹上，這裡我們知道，在一棵樹中，根節點是唯一的，父節點子節點都是相對而言的。要想確定節點x在哪一課樹，我們只需要找到x的根節點就可以了。

如果判斷節點x 和 節點y在不在同一棵樹上，我們只需要找到x 和 y的根節點，若x和y的根節點相同，則x，y在同一顆樹上，否則在不用的樹上。

程式碼：

int find(int x){    
    int r = x;    
    //父節點等於自身的節點才是根節點，    
    //若 r 節點的父節點不是根節點，一直向上找。    
    if(r != per[x])
        r = per[x];
    return r;
}

圖1.1

如圖1.1所示：

我們令節點1為根節點。查詢節點4在哪一棵樹，我們只要找到4的根節點就可以了。

查詢過程： 找到4的父節點per[4]為2，不等於它本身，繼續向上查詢， 2它的父節點per[2]為1，不等於它本身，繼續向上查詢，1的父節點per[1]為1等於它本身，說明1是根節點。

這裡有一個路徑壓縮的優化， 當我們查詢到4的根節點為1時，我們直接將per[4] = 1,即直接把4連在根節點1上，而且在查詢4時還會找到2，可能還有其他的節點，將這些節點的per[]通通都設定為1，這樣下次再查詢4的子節點所在的樹時，查詢次數就縮短了1.

這裡壓縮路徑有兩種寫法，一種是遞迴的，一種是非遞迴的。

1> 遞迴：

int find(int x){
    if(x == per[x])
        return x;
    return per[x] = find(per[x]);
}

2>非遞迴

int find(int x){    
    int r = x;    
    if(r != per[x])        
        r = per[x];    
    int i = x, j;    
    while(i != r){        
        j = per[i];        
        per[i] = r;        
        i = j;    
    }    
    return r;
}

請讀者自己模擬一下這兩種壓縮路徑的方式有何不同。

三、合併：

合併x 和 y所在的樹， 只需要把其中一個樹的根節點設定為令一個樹根節點的子節點即可；

void union(int x, int y){    
    int fx = find(x);//x的根節點為fx    
    int fy = find(y);//y的根節點為fy    
    if(fx != fy)        
        per[fx] = fy;
}

但是這裡有一個問題， 是把 x的根節點設定為 y根節點的子節點，還是把y的根節點設定為x根節點的子節點。

節點1和節點2是一棵樹，根節點為1， 節點3是一棵樹，根節點是自身為3.

圖1.2

 圖1.3

如圖1.2所示：

現在我們根節點3作為根節點1的子節點，此時查詢2的根節點，只需要查詢一次。

如圖1,3所示 

現在我們根節點1作為根節點3的子節點，此時查詢2的根節點，需要先找到1，再找到3，多了一次查詢。

所以這裡存在一種優化。我們可以設定一個數組rank[ ],用它來記錄每一棵樹的深度，合併時如果兩棵樹的深度不用，那麼從深度（rank）小的向深度（rank）達的連邊。（但注意，壓縮路徑時會使樹的深度發生變化，但我們不修改rank 的值）

int per[maxn];//記錄父節點
int rank[maxn];//記錄樹的深度
void init(){//初始化n個節點    
    for(int i = 1; i <= n; ++i){        
        per[i] = i;        
        rank[i] = 0;
    }
}
//找到根節點，壓縮路徑
int find(int x){    
    if(x == per[x])        
        return x;    
    return per[x] = find(per[x]);
}

void union (int a, int b){  
    int fa = find(a);  
    int fb = find(b);  
    if(fb != fa){  
        if(rank[fa]  < rank[fb]){  
            per[fa] = fb;  
        }  
        else{  
            per[fb] = fa;  
            if(rank[fa] == rank[fb]) rank[fa]++;  
        }  
    }    
}  

三、基礎例題解析：

題目大意：給出n個城市， m條無向路，問最少再修幾條路使所有城鎮都連通。

最基礎的並查集問題，遞迴壓縮路徑，沒有深度優化

AC程式碼

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define maxn 1100
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int per[1100];
int n, m;
//初始化節點
void init(){
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        per[i] = i;
}
//查詢根節點，遞迴壓縮路徑
int find (int x){
    if(x == per[x])
        return x;
    return per[x] = find(per[x]);
}
//合併根節點
void join(int x, int y){
    int fx = find(x);
    int fy = find(y);
    if(fx != fy)
        per[fx] = fy;
}

int main (){
    while(scanf("%d", &n),n){
        scanf("%d", &m);
        init();
        int a, b;
        while(m--){
            scanf("%d%d", &a, &b);
            join(a,b);
        }
        int ans = 0;
        //判斷圖中有幾棵樹，只需要判斷有幾個根節點即可
        //判斷方法;父節點等於本身的節點就是根節點
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            if(per[i] == i)
                ans++;
        }
        //把這些根節點連通，最小需要ans - 1條邊
        printf("%d\n", ans - 1);
    }
    return 0;
}

考察點：判斷是否成環，判斷圖中樹的個數

AC程式碼：非遞迴壓縮路徑，有深度優化

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 100000 + 100

int per[maxn];
int vis[maxn];
int flag;
int ran[maxn];

//查詢根節點，非遞迴壓縮路徑
int find(int x) {
    int r = x;
    while(r != per[r])
        r = per[r];
    int i,j;
    i = x;
    while(i != r){
        j = per[i];
        per[i] = r;
        i = j;
    }
    return r;
}
//合併根節點，深度優化
void jion (int a, int b){
    int fa = find(a);
    int fb = find(b);
    if(fb != fa){
        if(ran[fa]  < ran[fb]){
            per[fa] = fb;
        }
        else{
            per[fb] = fa;
            if(ran[fa] == ran[fb]) ran[fa]++;
        }
    }
    else
        flag = 0;//判斷是否成環
}

int main (){
    int a, b;
    while(scanf("%d%d", &a, &b) != EOF){
        if(a == -1 && b == -1)
            break;
        if(a == 0 && b == 0){
            printf("Yes\n");
            continue;
        }
        for(int i = 1; i <= 100000; ++i){
            per[i] = i;
            vis[i] = 0;
            ran[i] = 0;
        }
        vis[a] = 1, vis[b] = 1;
        flag = 1;
        jion(a, b);
        while(scanf("%d%d", &a, &b), a || b){
            vis[a] = 1;//並不是所有的房間都用到了，所以需要標記一下
            vis[b] = 1;
            jion(a, b);
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= 100000; ++i){
            if(per[i] == i && vis[i])
                ans++;
            if(ans > 1){
                flag = 0;
                break;
            }
        }
        if(flag) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");

    }
    return 0;
}

四、例題推薦：

HDU 4496--D-City 【並查集 && 刪邊】    

解析：HDU 4496
HDU 1598--find the most comfortable road【並查集 + 列舉】

HDU 2473--Junk-Mail Filter 【並查集 && 刪點】

HDU 3635--Dragon Balls【並查集】

 本人菜鳥一個，如有不對的地方希望各位大神糾正。有關帶權並查集的問題會在日後更新