一、並查集基礎

（一）引入

我們先來看一個問題。

某學校有N個學生，形成M個俱樂部。每個俱樂部裡的學生有著一定相似的興趣愛好，形成一個朋友圈。一個學生可以同時屬於若干個不同的俱樂部。根據“我的朋友的朋友也是我的朋友”這個推論可以得出，如果A和B是朋友，且B和C是朋友，則A和C也是朋友。請編寫程式計算最大朋友圈中有多少人。

輸入格式:
輸入的第一行包含兩個正整數N（≤30000）和M（≤1000），分別代表學校的學生總數和俱樂部的個數。後面的M行每行按以下格式給出1個俱樂部的資訊，其中學生從1~N編號：

第i個俱樂部的人數Mi（空格）學生1（空格）學生2 … 學生Mi

輸出格式:
輸出給出一個整數，表示在最大朋友圈中有多少人。

輸入樣例:
7 4
3 1 2 3
2 1 4
3 5 6 7
1 6
輸出樣例:
4

我們把這個題抽象化：

現在有n個數，它們按照一定規律合併，形成一些集合，求最大集合的元素個數。

這個合併規律如下：

（1）同一個俱樂部的所有人屬於同一個集合；

（2）若兩個俱樂部包含同一個人，則這兩個俱樂部屬於同一個集合。

按照正常做法，我們對於每一個人按照上述規律掃描剩餘的人，運行復雜度O（n^很大）。

這個方法顯然過不了。

我們重新分析這個題目，主要難點有兩個：

第一，對於第一條，同一個俱樂部的所有人如何儲存它們所在同一個集合內。

這個很好解決，我們再開一個book陣列，對於每一個人i，假設它在cnt集合內，我們標記book[i]=cnt。

如果這樣標記，對於第二個合併規律，我們掃描另一個俱樂部的所有人，我們把每一個book[i]都置成要合併到的俱樂部，總複雜度O(nm)。

但這樣還是過不了，所以我們考慮把第二個合併步驟的複雜度優化到O(1)，也就是說我們只需要修改一個數就可以修改整個集合。

對於這樣的修改方式，我們可以想到一種資料結構——樹。

利用樹儲存每個集合有兩個好處：

第一，每棵樹只有一個樹根（也就是查詢樹根就可以查詢整棵樹）

第二，兩棵樹合併只需要把一棵樹的樹根接到另一棵上（所以修改的複雜度是O(1))。

大概就是上面這麼合併

也就是說我們可以用樹優化查詢和合並集合的過程，其本質就是對樹之間的處理。

又因為，這一類題的根本步驟就是查詢與合併，所以我們把這樣的資料結構叫做並查集。

（二）並查集的基本操作

剛才我們已經知道，並查集中合併兩個元素實際上是合併他們所在樹的祖先。

為了查詢這兩個點是否在一棵樹上，我們首先要找到他們兩個點的祖先分別是誰，並判斷他們的祖先是否是同一個點即可。

但是因為樹會退化成一條鏈，所以我們在查詢祖先時要把下圖的第一個樹變成第二個樹，這是後話。

第二個圖的意思就是所有的點都連到根節點上。

我們暫且不提怎麼查詢一個點的祖先，在我們查詢兩個點祖先之後，判斷他們的祖先是不是同一個點，如果不是同一個點合併即可。

所以我們用fa[x]表示x的父親，則程式碼如下：

void u(int a,int b)
{
	int c=f(a),d=f(b);
	if(fa[c]!=fa[d])
	{
		fa[min(c,d)]=fa[max(c,d)];
		return;
	}
}

一定要注意的是，絕對不能讓fa[min(a,b]直接等於fa[max(a,b)]，因為這樣只合並了兩個點，而不是其所在的樹。

同時，注意合併時要按照一定的大小順序，所以這裡是按小往大合的。

所以這是合併兩個點的方法。

關於查詢祖先的方法，有一個非常絕妙的方法：

int f(int o)
{
	if(fa[o]==o)return o;
	return fa[o]=f(fa[o]);
}

第一行非常容易理解，如果o的祖先時自己則它自己就是這棵樹的祖先。

第二行我們把它分解成兩部分：

（1）f(fa[o])找到fa[o]的祖先。

（2）return fa[o]=f(fa[o]) 將o的父親置為其父親的祖先

也就是說 我們成功把一棵近似於一條鏈的樹 弄成了一棵最多隻有三層的樹。

這個過程換句話說是這樣：

（1）遞迴地找點o每一級祖先o'，直到找到它真正的祖先o1；

（2）回溯，對於每一個o'，將fa[o]置為o1.

也就是說 通過這個步驟，這棵樹的每一個點都直接連線到了祖先上

所以回到這章開始的部分，對於那兩棵樹之間的變化，有一種方法就是上面說的更改每個點與祖先的連線方式，這種方式叫作路徑壓縮。

其實還有一個稍微好實現一點的方法，對於每個樹根，我們記錄它所在的樹的高度，把這個高度叫作這棵樹的秩。

對於每個合併操作（不是路徑壓縮時的查詢操作），我們把秩小的樹合到秩大的樹上，這樣可以保證合出來的新樹的秩不大於原來任何一棵樹。

若兩棵樹的秩一樣，則新樹的秩是原樹的秩+1.

這種方法也叫按秩合併。

最後記得一開始初始化，令fa[x]=x。

上個板子：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int fa[100050];
int f(int o)
{
	if(fa[o]==o)return o;
	return fa[o]=f(fa[o]);
}
void u(int a,int b)
{
	int c=f(a),d=f(b);
	if(c!=d)fa[min(c,d)]=fa[max(c,d)];
	return;
}
int main()
{
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y,opt;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&opt);
		if(!opt)u(x,y);
		else
		{
			if(f(x)!=f(y))puts("NO");
			else puts("YES");
		}
	}
	return 0;
}

　　高階用法待填坑。

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