題目描述

本題的故事發生在魔力之都，在這裏我們將為你介紹一些必要的設定。 魔力之都可以抽象成一個 n 個節點、m 條邊的無向連通圖（節點的編號從 1 至 n）。 我們依次用 l,a 描述一條邊的長度、海拔。 作為季風氣候的代表城市，魔力之都時常有雨水相伴，因此道路積水總是不可避免 的。由於整個城市的排水系統連通，因此有積水的邊一定是 海拔相對最低的一些邊。 我們用水位線來描述降雨的程度，它的意義是：所有海拔不超過水位線的邊都是有積水的。

Yazid 是一名來自魔力之都的 OIer，剛參加完 ION2018 的他將踏上歸程，回到他 溫暖的家。 Yazid 的家恰好在魔力之都的 1 號節點。對於接下來 Q 天，每一天 Yazid 都會告 訴你他的出發點 v ，以及當天的水位線 p。 每一天，Yazid 在出發點都擁有一輛 . 車。這輛車由於一些故障不能經過有積水的邊。 Yazid 可以在任意節點下車，這樣接下來他就可以步行經過有積水的邊。但車會被留在 他下車的節點並不會再被使用。 • 需要特殊說明的是，第二天車會被重置，這意味著： – 車會在新的出發點被準備好。 – Yazid 不能利用之前在某處停放的車。 Yazid 非常討厭在雨天步行，因此他希望在完成回家這一目標的同時，最小化他步行經過的邊的總長度。請你幫助 Yazid 進行計算。 本題的部分測試點將強制在線，具體細節請見【輸入格式】和【子任務】。

輸入格式

從文件 return.in 中讀入數據。 單個測試點中包含多組數據。輸入的第一行為一個非負整數 T，表示數據的組數。

接下來依次描述每組數據，對於每組數據：

• 第一行 2 個非負整數 n,m，分別表示節點數、邊數。

• 接下來 m 行，每行 4 個正整數 u,v,l,a，描述一條連接節點 u,v 的、長度為 l、海 拔為 a 的邊。

– 在這裏，我們保證 1≤u,v≤n。

• 接下來一行 3 個非負數 Q,K,S，其中 Q 表示總天數，K ∈{0,1} 是一個會在下面 被用到的系數，S 表示的是可能的最高水位線。

• 接下來 Q 行依次描述每天的狀況。每行 2 個整數 v0, p0 描述一天： – 這一天的出發節點為 v = (v0 + K×lastans−1) mod n + 1。

– 這一天的水位線為 p = (p0 + K×lastans) mod (S + 1)。

– 其中 lastans 表示上一天的答案（最小步行總路程）。特別地，我們規定第 1 天時 lastans = 0。

– 在這裏，我們保證 1≤v0 ≤n，0≤ p0 ≤S。 對於輸入中的每一行，如果該行包含多個數，則用單個空格將它們隔開。

輸出格式

輸出到文件 return.out 中。 依次輸出各組數據的答案。對於每組數據： • 輸出 Q 行每行一個整數，依次表示每天的最小步行總路程。

樣例：

input

1 
4 3 
1 2 50 1 
2 3 100 2 
3 4 50 1 
5 0 2 
3 0 
2 1 
4 1 
3 1 
3 2

output

0 
50 
200 
50 
150

解題思路
一.Kruskal重構樹
蒟蒻的我看了好長時間。
其實這是一個把邊抽象成點的過程。
對於這道題而言，車在沒有雨的路徑上跑多少是不考慮的，它只要求給出步行最近距離。
而對於步行，我們不需要考慮有沒有水。
所以我們只要知道在哪裏下車才是最合適的。
所以這道題的思路就是：
1.先跑一邊全圖Dij，預處理出每一個下車點時到1點的最短路。
2.再跑一遍Kruskal重構樹。
3.統計答案。
這裏重點說一下Kruskal重構樹，網上的講解好少QAQ
首先我們建一顆最大生成樹。
這和普通的建法不太一樣。
它使用Kruskal的貪心思想，先將邊權排序（從小到大）
在連接的時候將邊變成一個新點連進去
這樣一顆獨立出原圖的Kruskal重構樹就建出來了。

舉個例子，這是原圖為了不與邊權沖突，以大寫字母區分點，字母點為原圖具有的，數字點為重構的點。

將邊權排序：5 4 3 3 3 2 2 1 1

Kruskal重構樹是獨立出原圖的。

構建代碼：

void Kruskal()
{
    int tot=n,nm=0;
    sort(me+1,me+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=finf(me[i].u);
        int y=finf(me[i].v);
        if(x!=y)
        {
            nm++;
            tot++;
            ade(tot,x);
            ade(tot,y);
            p[x].bl=p[y].bl=tot;
            p[tot].val=me[i].a;
            p[tot].dis=oo;
        }
        if(nm==n-1)
            break;
    }
    Build_dfs(tot,tot);
}

它有一些美好的性質：

1.這顆樹的重建節點的點權一定大於所有其子樹內重建節點點權。
2.非重建節點都是葉節點。
3.這可以由這個圖的最大生成樹的變形得來，所以具有一些最大生成樹的性質

這棵樹建好了，然後我們把點權設為邊權，然後再記錄一下這個點的子樹內葉節點的最小距1的距離

很顯然越高的節點記錄的距1距離越小

好了，每次查詢時，使用倍增來得到這個詢問點所有父親祖先上的最小合法點，輸出答案即可^_^

代碼：

  1 #include<queue>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 using namespace std;
  6 const int N=(int)(1e6);
  7 const int M=(int)(1e6);
  8 const int oo=0x3f3f3f3f;
  9 void ads(int f,int t,int v);
 10 struct pnt{
 11     int hd;
 12     int no;
 13     int bl;
 14     int fa[20];
 15     int dis;
 16     int hdl;
 17     int val;
 18     bool vis;
 19     void rest(int i)
 20     {
 21         no=i;
 22         bl=i;
 23         dis=oo;
 24         hdl=hd=0;
 25         val=0;
 26         vis=false;
 27         return ;
 28     }
 29     bool friend operator < (pnt x,pnt y)
 30     {
 31         return x.dis>y.dis;
 32     }
 33 }p[N];
 34 struct ede{
 35     int u;
 36     int v;
 37     int l;
 38     int a;
 39     void Ins()
 40     {
 41         scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&l,&a);
 42         ads(u,v,l);
 43         ads(v,u,l);
 44     }
 45 }me[M];
 46 struct ecc{
 47     int twd;
 48     int lst;
 49     int vls;
 50 }ec[M];
 51 struct ent{
 52     int twd;
 53     int lst;
 54 }e[N*2];
 55 int T;
 56 int cnt;
 57 int ect;
 58 int n,m;
 59 int q,k,s;
 60 int lastans;
 61 priority_queue<pnt>Q;
 62 bool cmp(ede x,ede y)
 63 {
 64     return x.a>y.a;
 65 }
 66 void rst()
 67 {
 68     lastans=0;
 69     for(int i=1;i<N;i++)
 70         p[i].rest(i);
 71     cnt=ect=0;
 72 }
 73 void ade(int f,int t)
 74 {
 75     cnt++;
 76     e[cnt].twd=t;
 77     e[cnt].lst=p[f].hd;
 78     p[f].hd=cnt;
 79 }
 80 void ads(int f,int t,int v)
 81 {
 82     ect++;
 83     ec[ect].twd=t;
 84     ec[ect].lst=p[f].hdl;
 85     ec[ect].vls=v;
 86     p[f].hdl=ect;
 87 }
 88 int finf(int x)
 89 {
 90     return x==p[x].bl?x:p[x].bl=finf(p[x].bl);
 91 }
 92 void Dij()
 93 {
 94     p[1].dis=0;
 95     Q.push(p[1]);
 96     while(!Q.empty())
 97     {
 98         int x=Q.top().no;
 99         Q.pop();
100         if(p[x].vis)continue;
101         p[x].vis=true;
102         for(int i=p[x].hdl;i;i=ec[i].lst)
103         {
104             int to=ec[i].twd;
105             int vl=ec[i].vls;
106             if(p[to].dis>p[x].dis+vl)
107             {
108                 p[to].dis=p[x].dis+vl;
109                 Q.push(p[to]);
110             }
111         }
112     }
113 }
114 void Build_dfs(int x,int f)
115 {
116     p[x].fa[0]=f;
117     for(int i=1;i<=19;i++)
118     {
119         p[x].fa[i]=p[p[x].fa[i-1]].fa[i-1];
120     }
121     for(int i=p[x].hd;i;i=e[i].lst)
122     {
123         int to=e[i].twd;
124         Build_dfs(to,x);
125         p[x].dis=min(p[x].dis,p[to].dis);
126     }
127 }
128 void Kruskal()
129 {
130     int tot=n,nm=0;
131     sort(me+1,me+m+1,cmp);
132     for(int i=1;i<=m;i++)
133     {
134         int x=finf(me[i].u);
135         int y=finf(me[i].v);
136         if(x!=y)
137         {
138             nm++;
139             tot++;
140             ade(tot,x);
141             ade(tot,y);
142             p[x].bl=p[y].bl=tot;
143             p[tot].val=me[i].a;
144             p[tot].dis=oo;
145         }
146         if(nm==n-1)
147             break;
148     }
149     Build_dfs(tot,tot);
150 }
151 int ans(int minpl,int pos)
152 {
153     for(int i=19;~i;i--)
154         if(p[p[pos].fa[i]].val>minpl)
155             pos=p[pos].fa[i];
156     return p[pos].dis;
157 }
158 int main()
159 {
160     scanf("%d",&T);
161     while(T--)
162     {
163         rst();
164         scanf("%d%d",&n,&m);
165         for(int i=1;i<=m;i++)
166             me[i].Ins();
167         Dij();
168         Kruskal();
169         scanf("%d%d%d",&q,&k,&s);
170         for(int i=1;i<=q;i++)
171         {
172             int p00,v00;
173             scanf("%d%d",&v00,&p00);
174             v00=(v00+k*lastans-1)%n+1;
175             p00=(p00+k*lastans)%(s+1);
176             lastans=ans(p00,v00);
177             printf("%d\n",lastans);
178         }
179     }
180     return 0;
181 }

NOI2018歸程（Kruskal重構樹）(以及騙分數據結構並查集）