Lucas定理：用於求C(n,m) mod p，其中p為素數

證明等在網上都可以找到，我也不是很懂就略過了（懂了補上）。

直接貼出用法吧：

主要程式碼就兩行，需要用到的知識有快速冪和求逆元（計算組合數），必要的時候需要打表（計算階乘）

核心程式碼：
 

ll lucas(ll a,ll b,ll p)
{
	if (b==0) return 1;
    //C是求組合數的函式
	return C(a%p,b%p,p)*lucas(a/p,b/p,p);
}

具體應用（關鍵：求組合數時要用到快速冪和求逆元）

例題1（不用打表的）：

 Problem 2020 組合（FZU2020）

Accept: 1614    Submit: 3822
Time Limit: 1000 mSec    Memory Limit : 32768 KB

 Problem Description

給出組合數C(n,m), 表示從n個元素中選出m個元素的方案數。例如C(5,2) = 10, C(4,2) = 6.可是當n,m比較大的時候，C(n,m)很大！於是xiaobo希望你輸出 C(n,m) mod p的值！

 Input

輸入資料第一行是一個正整數T,表示資料組數 (T <= 100) 接下來是T組資料，每組資料有3個正整數 n, m, p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素數)

 Output

對於每組資料，輸出一個正整數，表示C(n,m) mod p的結果。

 Sample Input

2 5 2 3 5 2 61

 Sample Output

1 10

 Source

題意：很簡單就直接用Lucas定理就行，也不會超時

#include <cstdio>
#include <iostream>
typedef long long ll;
using namespace std;

//快速冪
ll pow_mod(ll a,ll x,ll p)
{
	ll ret=1;
	while(x)
	{
		if (x&1) ret=ret*a%p;
		a=a*a%p;
		x>>=1;
	}
	return ret;
}

//求組合數
ll C(ll n,ll m,ll p)
{
	if (m==0) return 1;
	if (m>n-m) m=n-m;
	ll up=1,down=1;
    //求分子分母
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		up=(up*(n-i+1))%p;
		down=(down*i)%p;
	}
    //利用快速冪求逆元，其中pow_mod(down,p-2,p)是逆元
	return up*pow_mod(down,p-2,p)%p;
}

//lucas定理
ll lucas(ll a,ll b,ll p)
{
	if (b==0) return 1;
	return C(a%p,b%p,p)*lucas(a/p,b/p,p);
}

int main()
{
	ll n,m,p,T;
	cin >> T;
	while(T--)
	{
		cin >> n >> m >> p;
		cout << lucas(n,m,p) << endl;
	}
	return 0;
}
 

例題2（需要打表）：

DP?（HDU3944）

Time Limit: 10000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 128000/128000 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3897    Accepted Submission(s): 1247

 

Problem Description

Figure 1 shows the Yang Hui Triangle. We number the row from top to bottom 0,1,2,…and the column from left to right 0,1,2,….If using C(n,k) represents the number of row n, column k. The Yang Hui Triangle has a regular pattern as follows.
C(n,0)=C(n,n)=1 (n ≥ 0) 
C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k) (0<k<n)
Write a program that calculates the minimum sum of numbers passed on a route that starts at the top and ends at row n, column k. Each step can go either straight down or diagonally down to the right like figure 2.
As the answer may be very large, you only need to output the answer mod p which is a prime.

Input

Input to the problem will consists of series of up to 100000 data sets. For each data there is a line contains three integers n, k(0<=k<=n<10^9) p(p<10^4 and p is a prime) . Input is terminated by end-of-file.

Output

For every test case, you should output "Case #C: " first, where C indicates the case number and starts at 1.Then output the minimum sum mod p.

Sample Input

1 1 2 4 2 7

Sample Output

Case #1: 0 Case #2: 5

Author

[email protected]

Source

題意：給你一個楊輝三角，讓你求弄頂部到某一位置的最短路徑（只能向下和右下走）。大膽猜想可以一直向下然後一直想右下走，或者一直向右下然後一直向下，此時路徑最短。這兩種情況可以綜合來考慮，考慮到資料範圍猜想可能可以化簡公式，經隊友提示隊友得到公式為C(n+1,k)+n-k，對於k+1>n/2時轉換成向下走的情況即，k=n-k。

注意：若不打表直接計算組合數可能會超時，由於p較小，可以預處理所以p的情況，進行打表。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define MAX_N 10005
typedef long long ll;
using namespace std;

int cnt=0,sum=0;
ll n,p,k;
ll c[MAX_N][MAX_N];
ll prime[MAX_N],flag[MAX_N];
ll pos[MAX_N];

//快速冪
ll pow_mod(ll a,ll x,ll p)
{
	ll ret=1;
	while(x)
	{
		if (x&1) ret=ret*a%p;
		a=a*a%p;
		x>>=1;
	}
	return ret;
}

//打表
void init()
{
	memset(flag,0,sizeof(flag));
    //求出所有素數存入prime，用pos記錄位置
	for (int i=2;i<=10000;i++)
	{
		if (!flag[i])
		{
			prime[sum]=i;
			//printf("%lld\n",prime[sum]);
			pos[i]=sum++;
		}
		for (int j=i;j<=10000;j+=i)
			flag[j]=1;
	}
    //計算對於p是i的階乘
	for (int i=0;i<sum;i++)
	{
		c[i][0]=1; c[i][1]=1;
		for (int j=2;j<=prime[i];j++)
			c[i][j]=(c[i][j-1]*j)%prime[i];
	}
}

//求組合數
ll C(ll n,ll m,ll p)
{
	if (n<m) return 0;
    //利用逆元已經已經求得的階乘計算組合數
	return c[pos[p]][n]*pow_mod(c[pos[p]][m]*c[pos[p]][n-m],p-2,p)%p;
}

//還是兩行呼叫lucas
ll lucas(ll a,ll b,ll p)
{
	if (b==0) return 1;
	else return C(a%p,b%p,p)*lucas(a/p,b/p,p);
}

int main()
{
	init();
	while(~scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&p))
	{
        //將兩種情況合併為一種的操作，注意不可少
		if (k+1>n/2) k=n-k;
		printf("Case #%d: %lld\n",++cnt,(lucas(n+1,k,p)+n-k)%p);
	}
	return 0;
}