Lucas 定理

該定理是用來求當 $\binom{n}{m}$ 中的

m,n $m,n$$m,n$ 很大而 $p$ 為素數時，$\binom{n}{m}\pmod p$ 的值。
Lucas 定理：令$n=sp+q,m=tp+r.(q,r\lt p)$
那麼：

$$\binom{n}{m} \equiv \binom{sp+q}{tp+r} \equiv \binom{s}{t}\binom{q}{r}\pmod p$$
則在程式設計時，只需繼續對 $\binom{s}{t}$應用 Lucas 定理即可。程式碼可以遞迴地完成這個過程，終止條件是 $t=0$。時間複雜度為 $O(\log_p n*p)$。

大組合數取餘

應用 Lucas 定理，可以將求 $\binom{n}{m}\pmod p$ 的問題轉化為求$\binom{q}{r}\binom{s}{t}\pmod p$ 的問題，因為 $q,r<p$ 可對 $\binom{q}{r}\pmod p$ 直接求組合數，而對 $\binom{s}{t}\pmod p$ 遞迴使用 Lucas 定理求值。
而對於小組合數有：

$${q \choose r} \equiv \frac{q!}{r!(q-r)!}\pmod p$$
對於階乘很大的情況，計算機程式設計時可能需要對分子分母分別取餘，但是對於除法不能輕易使用同餘定理（只在 $+,-,*$ 三種運算下有效），所以希望可以將除法取餘轉換為等價的乘法取餘，這時便需要另外重要的知識：逆元以及費馬小定理。

逆元

逆元定義：對於正整數 $a$ 和 $p$，如果有$ax \equiv 1 \pmod p$，那麼把這個同餘方程中 $x$ 的最小正整數解叫做 $a\pmod p$ 的逆元。

費馬小定理

定義：假如 $p$ 是質數，且$\gcd(a,p)=1$，即 $a,p$ 互質，那麼$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$

由費馬小定理可得：

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