本文從AVL樹的定義出發，一步步地推匯出AVL樹旋轉的方案，這個推導是在已經清楚地知道AVL樹的定義這個前提下進行的。文章注重思考的過程，並不會直接給出AVL樹是怎樣旋轉的，用來提醒自己以後在學習的時候要注重推導的過程。在此，我要特別感謝下我的資料結構老師，是他讓我意識到思考的重要性。

一、從AVL樹的定義開始

1. 二叉查詢樹的問題

二叉查詢樹的出現，雖然使查詢的平均時間降到了logN,但是，在多次刪除或者插入操作後，可能會出現根節點的左子樹比右子樹高很多，或者右子樹比左子樹高很多的情況。如圖所示：

這樣的話，查詢的效率會相當低。所以現在的問題是：要想出一種解決方案，可以使得二叉查詢樹能保持平衡。這時，我們要定義一種新的二叉查詢樹，這種二叉查詢樹是一種帶有平衡條件的二叉查詢樹，也就是AVL樹。

2. AVL樹的定義

一棵AVL樹是其每個節點的左子樹和右子樹的高度最多差1的二叉查詢樹（空樹的高度定義為-1）。在下圖中，左邊的樹是AVL樹，但右邊的樹不是。

在右邊的樹中，根節點7的左子樹的高度為2，右子樹的高度為0，左右子樹的高度差為2，所以不是一棵AVL樹。
有了AVL樹的定義，下面就可以開始推導AVL樹是如何通過旋轉來達到平衡條件的了。

二、開始推導。

1. 分析需要注意的地方。

首先，我們用正向的思維來分析下。正常情況下，當進行插入操作時，我們需要更新通向根節點路徑上的那些節點的所有平衡資訊，而插入操作隱含著困難的原因在於，插入一個節點可能破壞AVL樹的特性。例如，將6插入到圖4-29中的AVL樹中將會破壞關鍵字為8的節點的平衡條件。如果發生這種情況，那麼就要把性質恢復（也就是恢復平衡）以後才認為這一步插入完成。

2.把影響降到最小。

作為一個程式設計師，我們總是希望在解決問題的過程中，把影響降到最小。

在上面的分析中，我們瞭解到，在插入一個節點後，很可能會破壞AVL樹的平衡性。而且，這種破壞平衡性的行為很可能是連鎖反應，比如，當我們在圖4-29中的AVL樹中的關鍵字為3的葉節點下面添加個關鍵字為2.5的葉節點時，就會破壞關鍵字為4的節點的平衡性，不僅如此，關鍵字為2的節點和關鍵字為5的根節點的平衡性都被打破了。

這種連鎖反應是十分可怕的，因此我們要把影響降至最小。如果我們能夠在第一個平衡性被破壞的節點上阻止連鎖反應的擴散，那麼就可以把影響降到最小了。在這裡，我們通過旋轉來對樹的區域性進行簡單的修正，從而把影響降到最小。

我們現在不用管是怎樣旋轉的，下面將進行一步步的推導，把旋轉的本質推匯出來，精彩的內容在下面！

3.假設某個節點為第一個平衡性被破壞的節點

現在開始，我們要分析所有可能出現的情況。

第一種情況：從第一個平衡性被破壞的節點的左邊插入，從而導致的失衡

先設下圖中的K2是第一個不滿足AVL平衡特性的節點，也就是說，K2在沒插入新節點前，是滿足平衡性的。然後，插入的地方為K2的左子樹：

在這種情況下，K2的左子樹的高度就比它的右子樹高2了。設
a. 上圖中的樹的名字為STree，作為整棵AVL樹的一部分。
b 插入節點前,以K2為根節點的樹的高度為h+2,即STree的高度為h+2;
c. 在這種情況下，插入節點前，K2的左子樹的高度為h+1,K2的右子樹Z的高度為h。
d.插入節點後，以K2為根節點的樹的高度變成了h+3;
e.插入節點後，K2的左子樹的高度為h+2 ,K2的右子樹Z的高度仍然為h。

現在我們面臨的問題是：要使STree的高度在插入新節點後，仍然保持不變。也就是說，要使STree的高度由h+3變回到h+2。這樣，就不會發生連鎖反應，把影響降至最小，因為STree的高度仍然是插入節點前的高度。由這個問題，我們又會引出一連串的問題。（有問題就對了，畢竟結論不是一下子得出來的，要經過詳細的分析，不斷地問為什麼？）

問題1：要怎樣做才能使STree的高度變回到h+2呢？

我們可以把裡面的節點的位置改動下，以達到改變STree高度這個目的。但注意到，AVL樹首先是一顆二叉查詢樹，裡面的節點的位置是有規律的：對於樹中的每個節點X，它的左子樹中所有關鍵字值小於X的關鍵字值，而它的右子樹中所有關鍵字值大於X的關鍵字值。因此，我們在改動STree中節點的位置時，要不破壞上面的規律。

在眾多的限制下，我們只能把在中間的節點的位置調整下，顯然，K2的左子樹比右子樹高2，所以，我們應該把K2的左兒子K1提到K2的位置。這樣STree的高度就變成了K1的高度，即變回了h+2。這時，K1的右兒子是K2，K1的右子樹Y變成K2的左子樹，如下圖：

到這裡，已經分析出了怎樣去旋轉，而且這個做法好像真的能解決問題，但怎樣才能確定這樣做是正確的呢，仔細想想，這個情況還可以再細分：

情形1： 新節點是在K1的左子樹X中插入，從而導致K2失去平衡（注意，K1是平衡的，不要忘記了，K2才是第一個失衡的）。
情形2：新節點是在K1的右子樹Y中插入，從而導致K2失去平衡。

問題2：情形1下，插入新節點前，X、Y的高度是多少，在這樣的高度下，按照上圖這樣旋轉是不是正確的？
由題設，我們已經知道，Z的高度為h。插入節點前，以K1為根的樹的高度為h+1，因此X、Y的高度最多隻能是h。此時，X的高度是可以確定是h的，因為新節點是從X中插入，從而使K1的高度由h+1變成h+2,所以X在插入新節點前，高度為h。再來確定Y的高度：

如果Y的高度為h-1，則在X中插入新節點後，X的高度變成h+1，這樣的話，X、Y的高度差就變成了2，首先失去平衡的節點是K1而不是K2了，這與假設相矛盾，所以Y的高度不會是h-1.

到這裡已經可以確定，Y的高度也是h了，只有這樣，在X中插入新節點時，才不會導致K1失衡，畢竟有個大前提在那裡，K2才是第一 個失衡的節點。
現在解決了X、Y的高度，在這樣的高度下，旋轉後的樹（圖4-31右邊的樹），X的高度是h+1，K1的高度為h+2，K2的高度為h+1,Y和Z的高度為h。這時每個節點的高度都滿足平衡性條件，所以，在情形1下，上圖的旋轉（這種旋轉叫單旋轉）是正確了，它有效地修正了STree的高度，使影響截斷在STree中，從而使整顆AVL樹的性質不變。

問題2：情形2下，插入新節點前，X、Y的高度是多少，在這樣的高度下，按照上圖這樣旋轉是不是正確的？
這裡，X、Y高度的分析和前面是一樣的，分析完後，插入前X、Y的高度也都是h。插入後，Y的高度變成了h+1,如下圖4-34左邊的樹所示

在這種情形下，按照上面的旋轉是不行的，這樣，旋轉後Y成為了K2的左子樹。這時，K1仍然是不平衡的，所以這樣的旋轉是不正確的。我們要尋找另外的方法來使STree平衡。

問題3：怎樣才能解決情形2所產生的問題呢？
這裡的問題在於子樹Y太深，單旋轉沒有降低它的深度。在情形1中，我們通過在K2進行單旋轉來使比較高的子樹K1提上去，從而解決了問題。於是，我們就想，既然單旋轉可以把比較高的子樹提上去，那麼我們先在K1處進行一次單旋轉，把Y子樹提上去，這看起來是個不錯的主意。既然要進行單旋轉，我們就需要一個K1的右兒子K3，如下圖所示：

這裡，我們並不用在意子樹A，B的高度了，他們的高度不會超過h，也不會少於h-1。
我們在K1處進行一次單旋轉，旋轉後的圖片如下：

在這裡，可以看到，STree還是不平衡，也許，我們還要用同樣的原理來進行一次單旋轉。這次，我們把K3提到K2的位置來進行多一次單旋轉，結果如下圖右邊的樹所示：

至此，旋轉完畢，容易驗證，在進行兩次旋轉後，得出的樹（圖4-35右邊的樹）是滿足AVL平衡特性的，這種旋轉叫雙旋轉。

我們現在解決了情形1和情形2這兩種情況，下面給出這兩種情形的準確定義，讓我們把必須重新平衡的節點叫做a。
情形1：對a的左兒子的左子樹進行一次插入。
情形2：對a的左兒子的右子樹進行一次插入。

到這裡可能會有點疑問，這些情形是否已經包括齊所有的情形了？比如情形1中，還需要對X進行拆分，繼續產生情形3，4…..n嗎？其實不用了，我們只要把X看成一個整體就行，我們只需要知道插入後X子樹的高度為h + 1，並不用去關心插入在什麼位置了。

第二種情況：從第一個平衡性被破壞的節點的右邊插入，從而導致的失衡

其實第二種情況就是第一種情況的對稱，只是換了一邊插入而已，其推導過程和第一種情況是一樣的。同樣的，具有兩種情形：
設a是必須重新平衡的節點，
情形3：對a的右兒子的左子樹進行一次插入。
情形4：對a的右兒子的右子樹進行一次插入。

在這裡對4種情形進行下總結：
情形1和情形4是關於a點的映象對稱，而2和3是關於a點的映象對稱。因此，理論上只有兩種情況，當然從程式設計的角度來看還是四種情形。
第一種情況是插入發生在“外邊”的情況（即左-左的情況或右-右的情況），該情況通過對樹的一次單旋轉而完成調整。第二種情況是插入發生在“內部”的情形（即左-右的情況或右-左的情況），該情況通過稍微複雜些的雙旋轉（兩次單旋轉）來處理。

3.實際的例子

接來下來演示一個例子。假設從初始的空AVL樹開始插入關鍵字3、2和1，然後依序插入4到7。在插入關鍵字 1時第一個問題出現了，AVL特性在根處被破壞。我們在根與其左兒子之間實施單旋轉修正這個問題。下面是旋轉之前和之後的兩棵樹：

虛線連線要旋轉的兩個節點，它們是旋轉的主體。下面我們插入關鍵字為4的節點，這沒有問題，但插入5破壞了在節點3處的AVL特性，而通過單旋轉又將其修正。

這裡需要注意的是，在程式設計的時候，要注意讓2的右兒子變成4，否則會導致4是不可訪問的。下面我們插入6。這在根節點產生一個平衡問題，因為它的左子樹高度是0而右子樹高度為2。因此我們在根處在2和4之間實施一次單旋轉。

旋轉的結果使得2是4的一個兒子而4原來的左子樹變成節點2的新的右子樹。我們插入的下一個關鍵字是7，它導致另外的旋轉：

下面演示雙旋轉的情況:
我們現在以倒序插入關鍵字10到16，接著插入8，然後再插入9。插入16容易，因為它並不破壞平衡特性，但插入15就會引起節點在7處的高度不平衡。這屬於情形3，需要通過一次右-左雙旋轉來解決，這個右-左雙旋轉將涉及7，16和15。

下面我們插入14，它也需要一個雙旋轉。此時修復該樹的雙旋轉還是右-左雙旋轉，它將涉及到6、15和7。

現在插入13，那麼在根處就會產生一個不平衡。由於13不在4和7之間，因此我們知道一次單旋轉就能完成修正的工作。

插入12也要一個單旋轉：

為了插入11，還需要進行一個單旋轉，對於其後的10的插入也需要這樣的旋轉。我們插入8不進行旋轉，這樣就建立了一棵近乎理想的平衡樹了。

最後，我們插入9以演示雙旋轉的對稱情形。注意，9引起含有關鍵字10的節點產生不平衡。由於9在10和8之間（8是通向9的路徑上的節點10的兒子），因此需要進行一個雙旋轉。

例子到此結束。

4.程式碼實現

下面是程式碼實現，就不詳細介紹了，畢竟本文著重的是推導過程：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

struct AvlNode;//樹的結點
typedef struct AvlNode *AvlPostion;//樹的指標
typedef struct AvlNode *AvlTree;//樹的指標
typedef int AvlElementType;//樹結點中的元素

#define Max(X,Y) ((X) > (Y) ? (X) : (Y))

struct AvlNode {
    AvlElementType element;
    AvlTree left;//左子樹
    AvlTree right;//右子樹
    int height;//樹的高度
};

void makeAvlEmpty(AvlTree tree) {
    if(tree != NULL){
        makeAvlEmpty(tree->left);
        makeAvlEmpty(tree->right);
        free(tree);
    }
}

//查詢關鍵字為x的相應的樹結點，並返回
AvlPostion findAvl(AvlElementType x,AvlTree tree) {
    if(tree == NULL){
        return NULL;
    }

    if(x < tree->element) {
        return findAvl(x,tree->left);
    }else if(x > tree->element) {
        return findAvl(x,tree->right);
    }else {
        return tree;
    }
}
//查詢最小的結點
AvlPostion findMinAvl(AvlTree tree) {
    if(tree != NULL) {
        while(tree->left) {
            tree = tree->left;
        }
    }
    return tree;
}
//查詢最大的結點
AvlPostion findMaxAvl(AvlTree tree) {
    if(tree != NULL) {
        while(tree->right) {
            tree = tree->right;
        }
    }
    return tree;
}
//返回樹的高度
static int height(AvlPostion p) {
    if(p == NULL) {
        return -1;
    }else {
        return p->height;
    }
}
/*如果k2有一個左兒子k1，則將k1作為根返回，k2變成k1的右兒子，並更新他們的高度*/
static AvlPostion singleRotateWithLeft(AvlPostion k2) {
    AvlPostion k1 = k2->left;
    k2->left = k1->right;
    k1->right = k2;

    k2->height = Max(height(k2->left),height(k2->right)) + 1;
    k1->height = Max(height(k1->left),k2->height) + 1;

    return k1;
}
/*如果k2有一個右兒子k1，則將k1作為根返回，k2變成k1的左兒子，並更新他們的高度*/
static AvlPostion singleRotateWithRight(AvlPostion k2) {
    AvlPostion k1 = k2->right;
    k2->right = k1->left;
    k1->left = k2;

    k2->height = Max(height(k2->left),height(k2->right)) + 1;
    k1->height = Max(k2->height,height(k1->right)) + 1;

    return k1;
}

static AvlPostion doubleRotateWithLeft(AvlPostion k3) {
    k3->left = singleRotateWithRight(k3->left);
    return singleRotateWithLeft(k3);
}

static AvlPostion doubleRotateWithRight(AvlPostion k3) {
    k3->right = singleRotateWithLeft(k3->right);
    return singleRotateWithRight(k3);
}

//最關鍵的插入方法
AvlTree insertAvl(AvlElementType x,AvlTree tree) {
    if(tree == NULL) {
        tree = (AvlPostion)malloc(sizeof(struct AvlNode));
        if(tree == NULL) {
            printf("create tree fail!\n");
        }else {
            tree->element = x;
            tree->left = NULL;
            tree->right = NULL;
            tree->height = 0;
        }
    }else if(x < tree->element) {
        //如果出來平衡性被破壞的情況，那麼一定是左子樹的高度更高
        tree->left = insertAvl(x,tree->left);//讓下次呼叫來更新tree->left;
        if(height(tree->left) - height(tree->right) == 2) {
            if(x < tree->left->element) {//是在tree的左兒子的左子樹中插入的
                tree = singleRotateWithLeft(tree);
            } else {//在tree的左兒子的右子樹中插入的
                tree = doubleRotateWithLeft(tree);
            }
        }
    }else if(x > tree->element) {
        tree->right = insertAvl(x,tree->right);
        if(height(tree->right) - height(tree->left) == 2) {
            if(x > tree->right->element) {
                tree = singleRotateWithRight(tree);
            }else {
                tree = doubleRotateWithRight(tree);
            }
        }
    }//如果有相等的節點，就什麼也不做
    //更新節點的高度資訊
    tree->height = Max(height(tree->left),height(tree->right)) + 1;
    return tree;//實現把上一次呼叫的節點更新的目的
}
//中序遍歷
void inorderTraversal(AvlTree tree) {
    if(tree != NULL) {
        inorderTraversal(tree->left);
        printf("%d ",tree->element);
        inorderTraversal(tree->right);
    }
}


int main() {
    int n;
    printf("請輸入結點數:\n");
    if(scanf("%d",&n) == 1) {
        int x;
        AvlTree tree = NULL;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            if(scanf("%d",&x) == 1) {
                tree = insertAvl(x,tree);
            }
        }
        inorderTraversal(tree);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

至此，整篇文章就完了！