資料結構看書筆記（六）--樹的定義、抽象資料型別、儲存結構
阿新 • • 發佈：2019-01-21
樹：
樹（Tree）是n(n>=0)個結點的有限集。n=0時稱為空樹，在任意一顆非空樹中：（1）有且只有一個特定的稱之為根（Root）的結點；（2）當n>1時，其餘結點可分為m(m>0)個互不相交的有限集T1、T2、……、Tm,其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱為根的子樹(SubTree).
對於樹的定義還要強調兩點：
1.n>0時根結點是唯一的，不可能存在多個根結點,應與現實中的大樹區分開
2.m>0時，子樹的個數沒有限制，但它們一定是互不相交的。
結點分類：
結點擁有的子樹稱為結點的度(Degree).度為0的結點稱為葉結點(Leaf)或終端結點；度不為0的結點稱為非終端結點或分支結點。除根結點外，分支節點也稱為內部結點。樹的度是樹內各結點的度的最大值。
結點間關係：
結點的子樹的根稱為該節點的孩子(Child),相應地，該結點稱為孩子的雙親(Parent).
同一個雙親的孩子之間的互稱兄弟(Sibling).
結點的祖先是從根到該節點所經分支上的所有節點。
以某結點為根的子樹中的任一結點都稱為該結點的子孫。
樹的其他相關概念：
結點的層次(Level)從根開始定義起，根為第一層，根的孩子為第二層。
雙親在同一層的結點互為堂兄弟。
樹中結點的最大層次稱為樹的深度(Depth)或高度。
如果將樹中結點的各子樹看成從左至右是有次序的，不能互換的，則稱該數為有序樹，否則稱為無序樹。
森林(Forest)是m(m>=0)棵互不相交的樹的集合。
對比線性表與樹的結構：
線性結構：
第一個資料元素：無前驅
最後一個數據元素：無後繼
中間元素：一個前驅一個後繼
樹結構：
根結點：無雙親，唯一
葉結點：無孩子，可以多個
中間結點：一個雙親多個孩子（或一個孩子）
樹的抽象資料型別：
ADT 樹(Tree)
Data
樹是由一個根結點和若干棵子樹構成。樹中結點具有相同資料型別及層次關係。
Operation
InitTree(*T):構造空樹T.
DestroyTree(*T):銷燬樹T.
CreateTree(*T,definition):按difinition中給出樹的定義來構造樹。
ClearTree(*T):若樹T存在，則將樹T清為空樹。
TreeEmpty(T):若T為空樹，返回true，否則返回false.
TreeDepth(T):返回T的深度。
Root(T):返回T的根結點。
Value(T,cur_e):cur_e是樹T中的一個結點，返回此結點的值。
Assign(T,cur_e,value):給樹T的結點cur_e賦值為value.
Parent(T,cur_e):若cur_e是樹的非根結點，則返回它的雙親，否則返回空。
LeftChild(T,cur_e):若cur_e是樹的非葉結點，則返回它的最左孩子，否則返回空。
RightSibling(T,cur_e):若cur_e有右兄弟，則返回它的右兄弟，否則返回空。
InsertChild(*T,*p,i,c):其中p指向樹的某個結點，i為所指結點p的度加上1，非空樹c與T不相交，操作結果為插入c為樹T中p指結點的第i棵子樹。
DeleteChild(*T,*p,i):其中p指向樹T的某個結點，i為所指結點的p的度，操作結果為刪除T中p所指結點的第i棵子樹。
endADT
樹的儲存結構：
雙親表示法：我們假設以一組連續空間儲存樹的結點，同時在每個結點中，附設一個指示器指示其雙親結點在陣列中的位置。---即每個結點除了知道自己是誰之外，還知道它的雙親在哪。
其結點結構如下所示：
|----------|-----------|
|data |parent |
|----------|-----------|
其中data為資料域，儲存結點的資料資訊，parent是指標域，儲存該結點的雙親在陣列中的下標。
以下為雙親表示法的結點結構定義程式碼：
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType;
typedef struct PTNode
{
TElemType data;
int parent;
}PTNode;
typedef struct
{
PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
int r,n;//根的位置和結點數
}PTree;
以下是一顆樹的表示：
|-----------|-----------|-----------|
| 下標 | data | parent |
|-----------|-----------|-----------|
| 0 | A | -1 |
|-----------|-----------|-----------|
| 1 | B | 0 |
|-----------|-----------|-----------|
| 2 | C | 0 |
|-----------|-----------|-----------|
| 3 | D | 1 |
|-----------|-----------|-----------|
| 4 | E | 2 |
|-----------|-----------|-----------|
| 5 | F | 2 |
|-----------|-----------|-----------|
| 6 | G | 3 |
|-----------|-----------|-----------|
| 7 | H | 3 |
|-----------|-----------|-----------|
| 8 | I | 3 |
|-----------|-----------|-----------|
| 9 | J | 4 |
|-----------|-----------|-----------|
此外還可以有以下型別的表示法（只是一部分）：
|-----------|-----------|-----------|-----------|
| 下標 | data | parent | firstChild|
|-----------|-----------|-----------|-----------|
|-----------|-----------|-----------|-----------|
| 下標 | data | parent | rightsib |
|-----------|-----------|-----------|-----------|
儲存結構的設計師一個非常靈活的過程，一個儲存結構設計得是否合理，取決於基於該儲存結構的運算是否合適、是否方便，時間複雜度好不好等。
孩子表示法：
多重連結串列表示法：每個結點由多個指標域，其中每個指標指向一棵子樹的根結點，我們把這種方法叫做多重連結串列表示法。
以下有兩種方案解決孩子個數不同的問題。
方案一：
|----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
|data | child1 | child2 | child3 | ………… | childn |
|----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
其中data為資料域，child1到childn為指標域，用來指向該結點的孩子結點。
優缺點分析：這種方法對於樹中各結點的度相差很大時，顯然是浪費空間的，因為有很多的結點，其指標域都是空的，但是如果各個結點的度相差不大時，就意味著空間被充分的利用了，這時儲存結構的缺點反而變成了優點。
鑑於上述第一種方案可能帶來空間上的浪費的問題，我們提出了方案二：
方案二：
第二種方案每個結點指標域的個數等於該結點的度，我們專門取一個位置來儲存結點指標域的個數，其結構如下
|----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
|data | degree | child1 | child2 | child3 | ………… | childn |
|----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
其中data為資料域，degree為度域，也就是儲存該結點的孩子結點的個數，child1到childn為指標域，指向該結點的各個孩子的結點。
優缺點分析：這種方案客服了浪費空間的缺點，對空間的利用率是很高了，但是由於各個結點的連結串列是不相同的結構，加上要維護結點的度的數值，在運算上就會帶來時間上的損耗。
鑑於上述的多重連結串列表示法的兩種方案都不是很適合，所以我們引入孩子表示法這個概念：
具體的辦法就是，把每個結點的孩子結點排列起來，以單鏈表作儲存結構，則n個結點有n個孩子連結串列，如果是葉子結點則此單鏈表為空。然後n個頭指標又組成一個線性表，採用順序儲存結構，存放進一個一維陣列中，具體的表示如下所示
|------|------|-----------| |-------|------|
| 下標 | data | firstChild| |child |next |
|--------|--------|-------------| |-------|------| |----|----|
| 0 | A | | ==> |1 | |==> |2 | ^ |
|--------|--------|-------------| |-------|------| |----|----|
| 1 | B | | ==> |3 |^ |
|--------|--------|-------------| |-------|------| |----|----|
| 2 | C | | ==> |4 | |==> |5 | ^ |
|------|------|-----------| |-------|------| |----|----| |----|----|
| 3 | D | | ==> |6 | |==> |7 | |==> |8 |^ |
|------|------|-----------| |-------|------| |----|----| |----|----|
| 4 | E | | ==> |9 |^ |
|------|------|-----------| |-------|------|
| 5 | F | ^ |
|------|------|-----------|
| 6 | G | ^ |
|------|------|-----------|
| 7 | H | ^ |
|------|------|-----------|
| 8 | I | ^ |
|------|------|-----------|
| 9 | J | ^ |
|------|------|-----------|
為此需要設計兩種結點結構，一個是孩子連結串列的孩子結點
|-------|------|
|child |next |
|-------|------|
其中child是資料域，用來儲存某個結點在表頭陣列中的下標，next是指標域，用來儲存指向某結點的下一個孩子結點的指標。
另一個是表頭陣列的表頭結點
|------|-----------|
| data | firstChild|
|------|-----------|
其中data為資料域，儲存某結點的資料資訊，firstchild是頭指標域，儲存該結點的孩子連結串列的頭指標。
以下為孩子表示法的結構定義程式碼：
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct CTNode
{
int child;
struct CTNode *next;
}*ChildPtr;
typedef struct
{
TElemType data;
ChildPtr firstchild;
}CTBox;
typedef struct
{
CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];
int r,n;//根的位置和結點數
}CTree;
以上的結構對於我們要查詢某個結點的某個孩子，或者找某個結點的兄弟，只需要查詢這個結點的孩子單鏈表即可，對於遍歷整棵樹也是很方便的，對頭結點的陣列迴圈即可。
如果需要查詢某個結點的雙親結點是誰的話，則可以考慮一下這種結構
|------|------|------|-----------| |-------|------|
| 下標 | data |parent| firstChild| |child |next |
|------|------|------|-----------| |-------|------| |----|----|
| 0 | A |-1 | | ==> |1 | |==> |2 | ^ |
|------|------|------|-----------| |-------|------| |----|----|
| 1 | B |0 | | ==> |3 |^ |
|------|------|------|-----------| |-------|------| |----|----|
| 2 | C |0 | | ==> |4 | |==> |5 | ^ |
|------|------|------|-----------| |-------|------| |----|----| |----|----|
| 3 | D |1 | | ==> |6 | |==> |7 | |==> |8 |^ |
|------|------|------|-----------| |-------|------| |----|----| |----|----|
| 4 | E |2 | | ==> |9 |^ |
|------|------|------|-----------| |-------|------|
| 5 | F |2 | ^ |
|------|------|------|-----------|
| 6 | G |3 | ^ |
|------|------|------|-----------|
| 7 | H |3 | ^ |
|------|------|------|-----------|
| 8 | I |3 | ^ |
|------|------|------|-----------|
| 9 | J |4 | ^ |
|------|------|------|-----------|
以上的表示法稱為雙親孩子表示法
孩子兄弟表示法：
任意一棵樹，它的結點的第一個孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我們設定兩個指標，分別指向該結點的第一個孩子和此結點的右兄弟。
|-----------|-----------|-----------|
| data | firstchild| rightsib |
|-----------|-----------|-----------|
其中data為資料域，firstchild為指標域，儲存該結點的第一個孩子結點的儲存地址，rightsib是指標域，儲存該結點的右兄弟結點的儲存地址。
結構定義程式碼如下。
typedef struct CSNode
{
TElemType data;
struct CSNode *firstchild,*rightsib;
}CSNode,*CSTree;
分析：這種表示法，給查詢某個結點的某個孩子帶來了方便，只需要通過firstchild找到此結點的長子，然後再通過長子結點的rightsib找到它的二弟，接著一直下去，知道找到具體的孩子。當然，如果想找某個結點的雙親，這個表示法也是有缺陷的。當然也可以增加一個雙親指標域來解決快速查詢雙親的問題，這樣其實表示出來的圖示就是一個二叉樹。二叉樹的內容，放到下一複習小節。
樹（Tree）是n(n>=0)個結點的有限集。n=0時稱為空樹，在任意一顆非空樹中：（1）有且只有一個特定的稱之為根（Root）的結點；（2）當n>1時，其餘結點可分為m(m)
樹（Tree）是n(n>=0)個結點的有限集。n=0時稱為空樹，在任意一顆非空樹中：（1）有且只有一個特定的稱之為根（Root）的結點；（2）當n>1時，其餘結點可分為m(m>0)個互不相交的有限集T1、T2、……、Tm,其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱為根的子樹(SubTree).
對於樹的定義還要強調兩點：
1.n>0時根結點是唯一的，不可能存在多個根結點,應與現實中的大樹區分開
2.m>0時，子樹的個數沒有限制，但它們一定是互不相交的。
結點分類：
結點擁有的子樹稱為結點的度(Degree).度為0的結點稱為葉結點(Leaf)或終端結點；度不為0的結點稱為非終端結點或分支結點。除根結點外，分支節點也稱為內部結點。樹的度是樹內各結點的度的最大值。
結點間關係：
結點的子樹的根稱為該節點的孩子(Child),相應地，該結點稱為孩子的雙親(Parent).
同一個雙親的孩子之間的互稱兄弟(Sibling).
結點的祖先是從根到該節點所經分支上的所有節點。
以某結點為根的子樹中的任一結點都稱為該結點的子孫。
樹的其他相關概念：
結點的層次(Level)從根開始定義起，根為第一層，根的孩子為第二層。
雙親在同一層的結點互為堂兄弟。
樹中結點的最大層次稱為樹的深度(Depth)或高度。
如果將樹中結點的各子樹看成從左至右是有次序的，不能互換的，則稱該數為有序樹，否則稱為無序樹。
森林(Forest)是m(m>=0)棵互不相交的樹的集合。
對比線性表與樹的結構：
線性結構：
第一個資料元素：無前驅
最後一個數據元素：無後繼
中間元素：一個前驅一個後繼
樹結構：
根結點：無雙親，唯一
葉結點：無孩子，可以多個
中間結點：一個雙親多個孩子（或一個孩子）
樹的抽象資料型別：
ADT 樹(Tree)
Data
樹是由一個根結點和若干棵子樹構成。樹中結點具有相同資料型別及層次關係。
Operation
InitTree(*T):構造空樹T.
DestroyTree(*T):銷燬樹T.
CreateTree(*T,definition):按difinition中給出樹的定義來構造樹。
ClearTree(*T):若樹T存在，則將樹T清為空樹。
TreeEmpty(T):若T為空樹，返回true，否則返回false.
TreeDepth(T):返回T的深度。
Root(T):返回T的根結點。
Value(T,cur_e):cur_e是樹T中的一個結點，返回此結點的值。
Assign(T,cur_e,value):給樹T的結點cur_e賦值為value.
Parent(T,cur_e):若cur_e是樹的非根結點，則返回它的雙親，否則返回空。
LeftChild(T,cur_e):若cur_e是樹的非葉結點，則返回它的最左孩子，否則返回空。
RightSibling(T,cur_e):若cur_e有右兄弟，則返回它的右兄弟，否則返回空。
InsertChild(*T,*p,i,c):其中p指向樹的某個結點，i為所指結點p的度加上1，非空樹c與T不相交，操作結果為插入c為樹T中p指結點的第i棵子樹。
DeleteChild(*T,*p,i):其中p指向樹T的某個結點，i為所指結點的p的度，操作結果為刪除T中p所指結點的第i棵子樹。
endADT
樹的儲存結構：
雙親表示法：我們假設以一組連續空間儲存樹的結點，同時在每個結點中，附設一個指示器指示其雙親結點在陣列中的位置。---即每個結點除了知道自己是誰之外，還知道它的雙親在哪。
其結點結構如下所示：
|----------|-----------|
|data |parent |
|----------|-----------|
其中data為資料域，儲存結點的資料資訊，parent是指標域，儲存該結點的雙親在陣列中的下標。
以下為雙親表示法的結點結構定義程式碼：
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int TElemType;
typedef struct PTNode
{
TElemType data;
int parent;
}PTNode;
typedef struct
{
PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
int r,n;//根的位置和結點數
}PTree;
以下是一顆樹的表示：
|-----------|-----------|-----------|
| 下標 | data | parent |
|-----------|-----------|-----------|
| 0 | A | -1 |
|-----------|-----------|-----------|
| 1 | B | 0 |
|-----------|-----------|-----------|
| 2 | C | 0 |
|-----------|-----------|-----------|
| 3 | D | 1 |
|-----------|-----------|-----------|
| 4 | E | 2 |
|-----------|-----------|-----------|
| 5 | F | 2 |
|-----------|-----------|-----------|
| 6 | G | 3 |
|-----------|-----------|-----------|
| 7 | H | 3 |
|-----------|-----------|-----------|
| 8 | I | 3 |
|-----------|-----------|-----------|
| 9 | J | 4 |
|-----------|-----------|-----------|
此外還可以有以下型別的表示法（只是一部分）：
|-----------|-----------|-----------|-----------|
| 下標 | data | parent | firstChild|
|-----------|-----------|-----------|-----------|
|-----------|-----------|-----------|-----------|
| 下標 | data | parent | rightsib |
|-----------|-----------|-----------|-----------|
儲存結構的設計師一個非常靈活的過程，一個儲存結構設計得是否合理，取決於基於該儲存結構的運算是否合適、是否方便，時間複雜度好不好等。
孩子表示法：
多重連結串列表示法：每個結點由多個指標域，其中每個指標指向一棵子樹的根結點，我們把這種方法叫做多重連結串列表示法。
以下有兩種方案解決孩子個數不同的問題。
方案一：
|----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
|data | child1 | child2 | child3 | ………… | childn |
|----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
其中data為資料域，child1到childn為指標域，用來指向該結點的孩子結點。
優缺點分析：這種方法對於樹中各結點的度相差很大時，顯然是浪費空間的，因為有很多的結點，其指標域都是空的，但是如果各個結點的度相差不大時，就意味著空間被充分的利用了，這時儲存結構的缺點反而變成了優點。
鑑於上述第一種方案可能帶來空間上的浪費的問題，我們提出了方案二：
方案二：
第二種方案每個結點指標域的個數等於該結點的度，我們專門取一個位置來儲存結點指標域的個數，其結構如下
|----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
|data | degree | child1 | child2 | child3 | ………… | childn |
|----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------|
其中data為資料域，degree為度域，也就是儲存該結點的孩子結點的個數，child1到childn為指標域，指向該結點的各個孩子的結點。
優缺點分析：這種方案客服了浪費空間的缺點，對空間的利用率是很高了，但是由於各個結點的連結串列是不相同的結構，加上要維護結點的度的數值，在運算上就會帶來時間上的損耗。
鑑於上述的多重連結串列表示法的兩種方案都不是很適合，所以我們引入孩子表示法這個概念：
具體的辦法就是，把每個結點的孩子結點排列起來，以單鏈表作儲存結構，則n個結點有n個孩子連結串列，如果是葉子結點則此單鏈表為空。然後n個頭指標又組成一個線性表，採用順序儲存結構，存放進一個一維陣列中，具體的表示如下所示
|------|------|-----------| |-------|------|
| 下標 | data | firstChild| |child |next |
|--------|--------|-------------| |-------|------| |----|----|
| 0 | A | | ==> |1 | |==> |2 | ^ |
|--------|--------|-------------| |-------|------| |----|----|
| 1 | B | | ==> |3 |^ |
|--------|--------|-------------| |-------|------| |----|----|
| 2 | C | | ==> |4 | |==> |5 | ^ |
|------|------|-----------| |-------|------| |----|----| |----|----|
| 3 | D | | ==> |6 | |==> |7 | |==> |8 |^ |
|------|------|-----------| |-------|------| |----|----| |----|----|
| 4 | E | | ==> |9 |^ |
|------|------|-----------| |-------|------|
| 5 | F | ^ |
|------|------|-----------|
| 6 | G | ^ |
|------|------|-----------|
| 7 | H | ^ |
|------|------|-----------|
| 8 | I | ^ |
|------|------|-----------|
| 9 | J | ^ |
|------|------|-----------|
為此需要設計兩種結點結構，一個是孩子連結串列的孩子結點
|-------|------|
|child |next |
|-------|------|
其中child是資料域，用來儲存某個結點在表頭陣列中的下標，next是指標域，用來儲存指向某結點的下一個孩子結點的指標。
另一個是表頭陣列的表頭結點
|------|-----------|
| data | firstChild|
|------|-----------|
其中data為資料域，儲存某結點的資料資訊，firstchild是頭指標域，儲存該結點的孩子連結串列的頭指標。
以下為孩子表示法的結構定義程式碼：
#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef struct CTNode
{
int child;
struct CTNode *next;
}*ChildPtr;
typedef struct
{
TElemType data;
ChildPtr firstchild;
}CTBox;
typedef struct
{
CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];
int r,n;//根的位置和結點數
}CTree;
以上的結構對於我們要查詢某個結點的某個孩子，或者找某個結點的兄弟，只需要查詢這個結點的孩子單鏈表即可，對於遍歷整棵樹也是很方便的，對頭結點的陣列迴圈即可。
如果需要查詢某個結點的雙親結點是誰的話，則可以考慮一下這種結構
|------|------|------|-----------| |-------|------|
| 下標 | data |parent| firstChild| |child |next |
|------|------|------|-----------| |-------|------| |----|----|
| 0 | A |-1 | | ==> |1 | |==> |2 | ^ |
|------|------|------|-----------| |-------|------| |----|----|
| 1 | B |0 | | ==> |3 |^ |
|------|------|------|-----------| |-------|------| |----|----|
| 2 | C |0 | | ==> |4 | |==> |5 | ^ |
|------|------|------|-----------| |-------|------| |----|----| |----|----|
| 3 | D |1 | | ==> |6 | |==> |7 | |==> |8 |^ |
|------|------|------|-----------| |-------|------| |----|----| |----|----|
| 4 | E |2 | | ==> |9 |^ |
|------|------|------|-----------| |-------|------|
| 5 | F |2 | ^ |
|------|------|------|-----------|
| 6 | G |3 | ^ |
|------|------|------|-----------|
| 7 | H |3 | ^ |
|------|------|------|-----------|
| 8 | I |3 | ^ |
|------|------|------|-----------|
| 9 | J |4 | ^ |
|------|------|------|-----------|
以上的表示法稱為雙親孩子表示法
孩子兄弟表示法：
任意一棵樹，它的結點的第一個孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我們設定兩個指標，分別指向該結點的第一個孩子和此結點的右兄弟。
|-----------|-----------|-----------|
| data | firstchild| rightsib |
|-----------|-----------|-----------|
其中data為資料域，firstchild為指標域，儲存該結點的第一個孩子結點的儲存地址，rightsib是指標域，儲存該結點的右兄弟結點的儲存地址。
結構定義程式碼如下。
typedef struct CSNode
{
TElemType data;
struct CSNode *firstchild,*rightsib;
}CSNode,*CSTree;
分析：這種表示法，給查詢某個結點的某個孩子帶來了方便，只需要通過firstchild找到此結點的長子，然後再通過長子結點的rightsib找到它的二弟，接著一直下去，知道找到具體的孩子。當然，如果想找某個結點的雙親，這個表示法也是有缺陷的。當然也可以增加一個雙親指標域來解決快速查詢雙親的問題，這樣其實表示出來的圖示就是一個二叉樹。二叉樹的內容，放到下一複習小節。
樹（Tree）是n(n>=0)個結點的有限集。n=0時稱為空樹，在任意一顆非空樹中：（1）有且只有一個特定的稱之為根（Root）的結點；（2）當n>1時，其餘結點可分為m(m)