Softmax函式

背景與定義

在Logistic regression二分類問題中，我們可以使用sigmoid函式將輸入Wx+b對映到(0,1)區間中，從而得到屬於某個類別的概率。將這個問題進行泛化，推廣到多分類問題中，我們可以使用softmax函式，對輸出的值歸一化為概率值。

這裡假設在進入softmax函式之前，已經有模型輸出C值，其中C是要預測的類別數，模型可以是全連線網路的輸出a，其輸出個數為C，即輸出為a1,a2,...,aC。

所以對每個樣本，它屬於類別i的概率為：

yi=eai∑Ck=1eak∀i∈1...C

通過上式可以保證∑Ci=1yi=1，即屬於各個類別的概率和為1。

導數

對softmax函式進行求導，即求

∂yi∂aj
第i項的輸出對第j項輸入的偏導。
代入softmax函式表示式，可以得到：
∂yi∂aj=∂eai∑Ck=1eak∂aj

用我們高中就知道的求導規則：對於

f(x)=g(x)h(x)
它的導數為
f′(x)=g′(x)h(x)−g(x)h′(x)[h(x)]2
所以在我們這個例子中，
g(x)=eaih(x)=∑k=1Ceak
上面兩個式子只是代表直接進行替換，而非真的等式。

eai（即g(x)）對aj進行求導，要分情況討論：
1. 如果i=j，則求導結果為eai
2. 如果i≠j，則求導結果為0

再來看∑

Ck=1eak對aj求導，結果為eaj。

所以，當i=j時：

∂yi∂aj=∂eai∑Ck=1eak∂aj=eaiΣ−e

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