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題意：

思路：

1. 遞推法

根據第二個式子可以用特徵根算出來 F1,i = 1/3 * (2 ^ n - (-1) ^ n)

後面再一行行地推也就不難了

推出來

n 為奇數時，Fm.1 = 1/3 * ((2 ^ n - 1) ^ (m - 1) * 2 + 1)

n 為偶數時，Fm,1 = 1/3 * ((2 ^ n - 1) ^ (m - 1) * 2)

但是注意，/3 並不能直接除，而要乘以 3 的乘法逆元

AC程式碼如下：

#include <cstdio>
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9 + 7;
LL n, m;
LL poww(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) { ret *= a; ret %= mod; }
        a *= a;
        a %= mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret % mod;
}
void work() {
    scanf("%I64d%I64d", &n, &m);
    LL x = poww(2, n) - 1;
    if (x < 0) x += mod;
    LL add = poww(x, m - 1) * 2 % mod;
    if (n & 1) add += 1;
    add *= poww(3, mod - 2);
    add %= mod;
    printf("%I64d\n", add);
}
int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) work();
    return 0;
}
 

參見

官方部落格

AC程式碼如下：

#include <cstdio>
typedef long long LL;
const LL mod = 1e9 + 7;
struct Matrix {
    LL a[2][2];
    Matrix(LL b = 0, LL c = 0, LL d = 0, LL e = 0) : a{b, c, d, e} {}
    Matrix operator * (const Matrix& temp) const {
        Matrix ret;
        for (int i = 0; i < 2; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                for (int k = 0; k < 2; ++k) {
                    ret.a[i][j] += a[i][k] * temp.a[k][j] % mod;
                    ret.a[i][j] %= mod;
                }
            }
        }
        return ret;
    }
    Matrix operator - (const Matrix& temp) const {
        Matrix ret;
        for (int i = 0; i < 2; ++i) {
            for (int j = 0; j < 2; ++j) {
                ret.a[i][j] = a[i][j] - temp.a[i][j];
                ret.a[i][j] %= mod;
            }
        }
        return ret;
    }
};
Matrix poww(Matrix temp, LL n) {
    Matrix ret(1, 0, 0, 1);
    while (n) {
        if (n & 1) ret = ret * temp;
        temp = temp * temp;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}
void work() {
    LL n, m;
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    Matrix temp = poww(Matrix(1, 2, 1, 0), n);
//    printf("%lld %lld\n%lld %lld\n", temp.a[0][0], temp.a[0][1], temp.a[1][0], temp.a[1][1]);
    Matrix ans(0, 0, 0, 0);
    if (n & 1) ans = poww(temp - Matrix(0, 2, 1, -1), m - 1);
    else ans = poww(temp - Matrix(1, 0, 0, 1), m - 1);
    LL anss = ans.a[1][0] + ans.a[1][1]; anss %= mod;
    printf("%lld\n", anss);
}
int main() {
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--) work();
    return 0;
}
 

乘法逆元什麼的...

扎心了，昨天上午補第一場的12題時要求很大的數的組合數才看的