這是一篇ECCV2014年的paper，在這篇paper中作者提出了kernelized correlation filter，並將其應用到了tracking中，從而有了15年PAMI的那篇文章，我再之前部落格中也記錄過

在這裡，我想重新介紹一下KCF，並且加上一點自己的認識。

track-by-detection的方法獲得了廣泛的應用，這個思想需要首先獲取樣本進行訓練，常用的方法就是 係數取樣。如下所示：

這種方法的缺點就是樣本之間有重疊，或者叫有冗餘並且比較慢，因為一般要採集大量的樣本。於是作者想exploite structure.作者的思想就是利用FFT來快速的合併所有subwindows的資訊，而不用迭代的取樣。

下面開始介紹主要內容。

先說一下作者的motivation: 在tracking-by-detection裡面的核心是分類器。訓練分類器需要採集正負樣本，作者打算採集所有的樣本，也就上面圖所示的那種dense sampling。

作者首先構造一個model:

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這裡L是損失函式，x和y分別是訓練樣本和標籤。函式f是： 

如果是線性SVM的話，L的表示式是：，如果是linear regression 的話，L的表示式是：作者指出，很多時候兩者效果接近，於是作者用後者代替前者。

那麼上面的公式1的閉式解就是：

其中K是核矩陣，我們要求解的是w,這裡為什麼出來的是\alpha呢。其實這是利用了一個叫表達理論的東西：

，這裡有了alpha，就可以獲得w了，其中\pha是空間對映函式。為什麼要整這麼複雜，又是表達理論又是核的，這是因為很多時候沒法直接求w必須利用這些技術簡化求解。

OK，有了這些理論基礎之後，就開始進入下一步了：Circulant matrices。理解這個可以參考我的關於KCF的那篇blog，這裡簡單介紹一下，就是我們有了一個base sample之後，通過不斷的cyclic shift就可以得到一個circulant matrics C(u)，

這個矩陣有什麼用呢？就是當我們用它來對vector進行卷積的時候很有用。例如我們表示兩個vector u和v的卷積，那麼就可固定v不動，讓u做cyclic shift得到C(u).那麼C(u)v就表示u和v之間的卷積運算。在頻率域下就可以表示為：

這些都是為了下面的dense sample做準備。給定一幅影象，假設是vector形式的，那麼下面的運算：

每進行一次就相當於對影象取樣一次。然後我們利用一個定理：

就可以得到：

然後公式2就變成了：

當新的樣本z來了之後，分類器輸出為：

上面公式意思是挨個計算xi與輸入z之間的卷積運算。如果我們想同時計算z與xi之間的卷積運算，那麼 ：

後面就是對K採用的一些核技巧。不再介紹了。