一、為什麼需要服從正態分佈的隨機函式

一般我們經常使用的隨機數函式 Math.random() 產生的是服從均勻分佈的隨機數，能夠模擬等概率出現的情況，例如 扔一個骰子，1到6點的概率應該相等，但現實生活中更多的隨機現象是符合正態分佈的，例如20歲成年人的體重分佈等。

假如我們在製作一個遊戲，要隨機設定許許多多 NPC 的身高，如果還用Math.random()，生成從140 到 220 之間的數字，就會發現每個身高段的人數是一樣多的，這是比較無趣的，這樣的世界也與我們習慣不同，現實應該是特別高和特別矮的都很少，處於中間的人數最多，這就要求隨機函式符合正態分佈。

二、正態分佈複習

具體性質也請查閱上面連結，描述正態分佈的主要特徵是均值和方差，如上圖，最左的倒鐘形圖的均值為-2, 其餘為0 ;

方差越大，鐘形越扁平，方差越小越陡;

• 密度函式影象關於均值對稱。
• 在x=μ±σ處，曲線有拐點。
• 函式曲線下68.26%的面積在平均數左右的一個標準差σ的區間內。
• 95.44%的面積在平均數左右兩個標準差2σ的區間內。
• 99.74%的面積在平均數左右三個標準差3σ的區間內。

當均值為0， 方差為 1 時稱為標準正態分佈;

三、由均勻分佈經 “Box-Muller法” 轉換為正態分佈

y1 = sqrt( - 2 ln(u) ) cos( 2 pi v )

y2 = sqrt( - 2 ln(u) ) sin( 2 pi v )

因為三角函式計算較慢，我們可以通過上述公式的一個 polar form

演算法描述如下：

function getNumberInNormalDistribution(mean,std_dev){
    return mean+(randomNormalDistribution()*std_dev);
}

function randomNormalDistribution(){
    var u=0.0, v=0.0, w=0.0, c=0.0;
    do{
        //獲得兩個（-1,1）的獨立隨機變數
        u=Math.random()*2-1.0;
        v=Math.random()*2-1.0;
        w
 
=u*u+v*v;
    }while(w==0.0||w>=1.0)
    //這裡就是 Box-Muller轉換
    c=Math.sqrt((-2*Math.log(w))/w);
    //返回2個標準正態分佈的隨機數，封裝進一個數組返回
    //當然，因為這個函式執行較快，也可以扔掉一個
    //return [u*c,v*c];
    return u*c;
}

因此，假如我們要獲得均值為180，要68.26%左右的NPC身高都在[170,190]之內，即1個標準差範圍內，因此標準差為10, 可以通過getNumberInNormalDistribution(180,10) 呼叫，我們實驗1000000詞，得到結果如下：

// 身高：頻率
128:1
132:1
133:1
134:1
135:1
136:2
137:4
138:8
139:11
140:14
141:19
142:28
143:41
144:54
145:80
146:133
147:153
148:235
149:333
150:429
151:598
152:764
153:1059
154:1314
155:1776
156:2290
157:2835
158:3503
159:4373
160:5513
161:6475
162:7809
163:9437
164:11189
165:13282
166:15020
167:17239
168:19215
169:21597
170:24336
171:26684
172:29000
173:31413
174:33179
175:35027
176:37084
177:38047
178:38968
179:39635
180:39700
181:39548
182:38960
183:38674
184:36948
185:35220
186:33224
187:31038
188:29198
189:26668
190:23893
191:21662
192:19476
193:16898
194:15056
195:13046
196:10971
197:9456
198:7928
199:6697
200:5370
201:4334
202:3548
203:2810
204:2330
205:1765
206:1350
207:1093
208:797
209:595
210:371
211:328
212:255
213:165
214:121
215:91
216:71
217:29
218:32
219:28
220:20
221:6
222:7
223:7
224:3
225:2
228:1

繪製成柱狀圖如下：

可見，這是有著非常明顯的正態分佈圖像特徵。

四、由均勻分佈疊加獲得正態分佈

我們需要祭出萬能的中心極限定理。

根據獨立同分布的中心極限定理：設隨機變數X1，X2，…Xn,…相互獨立，服從同一分佈，且數學期望為μ，標準差為σ (σ>0)，則隨機變數之和的標準化變數:

Y=((X1+X2+…+Xn)-nμ)/(sqrt(n)*sqrt(σ)) 近似服從標準正態分佈 N(0，1)

如果我們將足夠多個均勻分佈隨機變數相加，相加之和將服從正態分佈。但是，我們需要累加多少個均勻分佈才能較好低近似正態分佈呢？

由於 X~U(0, 1) , 可得 μ=1/2， σ=sqrt(1/12)，代入上面的式子即可近似模擬隨機變數之和的概率密度函式(p.d.f).

下圖是由2個服從 U(0，1) 分佈的隨機變數相加得到的 p.d.f 影象：

如果我們增加累加的均勻分佈的數量會怎樣呢？

上圖是 n=3 時的影象，可以看到正態分佈的形狀出來了，但頂端還略為平緩。

特別低，當n=12時 (隨機變數(X1+X2+…+Xn)的均值為6，方差為1)  這時有一個很好的特點，公式 Y=((X1+X2+…+Xn)-nμ)/(sqrt(n)*sqrt(σ)) 的分母正好為1，因此簡化成了 Y=((X1+X2+…+Xn)-nμ)，非常便於程式設計計算，並且已經非常接近於標準正態分佈，請見下圖：

也就是說均值為μ，標準差為σ 的獨立同分布變數 X1，X2, …, Xn 的算數平均數  T=(X1+X2+ …+ Xn)/n，當n充分大時，近似地服從均值為μ，方差為σ*σ/n 的正態分佈。

最後，程式碼如下：

function getNumberInNormalDistribution(mean,std_dev){    
    return mean+(uniform2NormalDistribution()*std_dev);
}

function uniform2NormalDistribution(){
    var sum=0.0;
    for(var i=0; i<12; i++){
        sum=sum+Math.random();
    }
    return sum-6.0;
}

同樣，將產生100萬個隨機數按頻率畫出直方圖如下：