最近零星看到一些位操作的演算法題，看題目都有類似的套路，不用常規算術運算，只用位操作和判斷，實現+、-、*、/和冪次操作。之前都是看到了就做一做，今天寫這篇文章對此種類型的演算法題做統一整理。

加法

不用+號做加法？首先回顧一下我們小學時候學的加法運算是怎麼做的。從低位到高位，逐位做加法，得到進位，迴圈下一位。對這道題我們也可以用同樣的方法來實現加法。怎麼做呢？我們可以把兩個數字都表示為二進位制數，然後分別對二進位制數用小學的加法運算逐位計算和與進位，從低位到高位迴圈，得到最終結果。對二進位制數來說，當前bit位的和的計算可以表示為：0 + 0 = 0，0 + 1 = 1，1 + 0 = 1，1 + 1 = 2

public static long add(long a, long b){
    long sum = 0, carryin = 0, tempA = 0, tempB = 0, k = 1;
    while(tempA != 0 || tempB != 0
 
){
        long ak = a & k;
        long bk = b & k;
        sum |= ak ^ bk ^ carryin;
        carryin = ((ak & bk) | (ak & carryin) | (bk & carryin)) << 1;
        k <<= 1;
        tempA >>>= 1;
        tempB >>>= 1;
    }
    return sum;
}

時間複雜度為O(n)，其中n為long資料型別的寬度。

乘法

最先想到的brute-force方法就是重複做加法實現乘法。比如x * y可以通過重複加y次x得到，時間複雜度是O(2^n)其中n為資料型別寬度。
再想想我們在學校學過的乘法運算，其實是通過移位運算，逐位相加各bit位的方法得到結果。舉個例子，111 * 111，我們在草稿上通過111 * 100 + 111 * 10 + 111 * 1得到結果。在此我們可以借鑑這種方法，只不過在學校我們學的是十進位制，在計算機中我們用二進位制。計算x * y，假如x的第k位是1，那我們就在結果中加上2^k * y，這樣逐位遍歷x的所有bit位，即可得到結果。加法運算可以用前文描述的加法演算法。程式碼如下：

public static long multiply(long x, long y){
    long sum = 0;
    while(x != 0){
        if((x & 1) != 0){
            sum = add(sum, y);
        }
        x >>>= 1;
        y <<= 1;
    }
    return sum;
}

逐位遍歷的時間複雜度為O(n)，其中n為資料型別寬度。每次加法的時間複雜度如前文所述，為O(n)，所以乘法運算總的時間複雜度為O(n^2)。

除法

除法運算可以用乘法運算的逆運算來考慮。最簡單的brute-force方法就是對除數逐次做減法，每減一次商加1，直到減到不夠減為止，時間複雜度如乘法運算所述為O(2^n)。
參考前文所述的乘法運算，除法運算也可以用逐位減的方式來計算。計算x / y，如果2^k * y <= x，那麼計算結果商就加2^k。舉個例子，如果x = (1011)2，y = (10)2, k = 2, 因為2 * (2^2) < 11且2 * (2^3) > 11, 那我們就從(1011)2中減去(1000)2得到(11)2, 並在商中加上2^k = 2^2 = (100)2，然後更新x為(11)2。
2^k可以很方便地通過移位操作實現，而k我們也可以從高到低位逐位遞減。程式碼如下：

public static long divide(long x, long y){
    long result = 0;
    int power = 32;
    long ypower = y << power;
    while(x >= y){
        while(ypower > x){
            ypower >>>= 1;
            power--;
        }
        x -= ypower;
        result |= (1L << power);
    }
    return result;
}

時間複雜度為O(n)，其中n為資料型別寬度。

冪次

冪次運算的brute-force演算法也很簡單，x^2 = x * x，x^3 = (x^2) * x，依次類推。時間複雜度為O(2^n)，其中n為資料型別寬度。
我們知道，對冪次運算有運算率：x^(y+z) = (x^y) * (x^z)，這樣我們可以把乘數看作多個數的和，然後再用上面的公式進行計算，可以大大減少運算次數。而每個整數的二進位制表示恰好可以看作2的次方數相加的結果，這樣，我們可以把乘數當作二進位制數，逐位計算，當前第k位為1時，就在結果中乘上x^(2^k)，直到y為0為止。而x^(2^k)可以很輕鬆地通過x的移位運算得到，也可以逐次計算x^(2^k) = x^(2^(k-1)) * x^(2^(k-1))。針對y為負數的情況，有x^y = (1/x)^(-y)。完整程式碼如下：

public static double power(double x, int y){
    long power = y;
    if(power < 0){
        power = -power;
        x = 1/x;
    }
    double result = 1;
    while(power > 0){
        if((power & 1) == 1){
            result *= x;
        }
        x <<= 1;
        power >>>= 1;
    }
    return result;
}

時間複雜度為O(n)，其中n為資料型別寬度。

總結

本文整理了不用常規算術運算，只用位操作和判斷，實現+、-、*、/和冪次操作的演算法題的解題思路，基本想法都是通過把一個運算數看作二進位制數，利用不同運算固有的運算率減少計算次數，仔細觀察會發現它們都有基本一致的套路，掌握了以後就可以很輕鬆地舉一反三。