高斯過程(1)(Gauss Processes)

n-Dimensional Joint Gauss Distribution

n隨機變數X(t)，對∀n,∀t1,t2,⋯,tn，記(X(t1),X(t2),⋯,X(xn))T=X，即X為n維隨機向量，如果X∼N(μ,Σ)，其中μ為均值向量，Σ為協方差矩陣，那麼稱X為n維聯合高斯分佈(n-dimensional joint Gauss distribution).
n=1時，X∼N(μ,σ2)∈R1，fX(x)=12π√σexp[−(x−μ)22σ2]；
n=2時，X=(X1,X2)T∈R2，fX1,X2(x1,x2)=12πσ1σ

21−ρ2√exp[−12(1−ρ2)((x1−μ1)2σ21−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ2σ2+(x2−μ2)2σ22)]；
n>2時，X∈Rn，fX(x)=1(2π)n/2det(Σ)√exp[−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)]，其中，μ=E(X)∈Rn,Σ=E[(x−μ)(x−μ)T]∈Rn×n為協方差矩陣。

對於上面的函式，需要驗證其的確是概率密度函式(PDF)。我們知道，驗證一個PDF只需驗證下面兩條是否滿足即可：

fX(x)≥0;
∫RnfX(x)dx

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