演算法學習-分治法-大整數乘法
基本問題
大整數乘法(C)請設計一個有效的演算法，可以進行兩個n位大整數的乘法運算。設X和Y都是n位的二進位制整數，現在要計算它們的乘積XY。我們可以用小學所學的方法來設計一個計算乘積XY的演算法，但是這樣做計算步驟太多，顯得效率較低。如果將每2個1位數的乘法或加法看作一步運算，那麼這種方法要作O(n^2)步運算才能求出乘積XY。
打問號處個人感覺有問題，不過乘法肯定是主要運算，移位操作一定小於 n(n-1)次，加法操作小於n(n-1)次， O( 3 n^2) = O( n^2).
下面我們用分治法來設計一個更有效的大整數乘積演算法。我們將n位的二進位制整數X和Y各分為2段，每段的長為n/2位（為簡單起見，假設
省略了作標記處的運算過程 ， 關鍵是前一個的指數是 log4，後一個是 log3 = 1.59.
補充一些文字解釋：
由此，X=A2^(n/2)+B，Y=C2^(n/2)+D。這樣，X和Y的乘積為：
XY=(A2^(n/2)+B)(C2^(n/2)+D)=AC2^n+(AD+CB)2^(n/2)+BD （1）
如果按式（1）計算XY，則我們必須進行4次n/2位整數的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超過n位的整數加法（分別對應於式（1）中的加號），此外還要做2次移位（分別對應於式（1）中乘2n和乘2n/2）。所有這些加法和移位共用O（n）步運算。設T（n）是2個n位整數相乘所需的運算總數，則由式（
T(n) = O(1) n=1
4T(n/2)+O(n) n>1
由此可得T(n)=O(n2)。因此，用（1）式來計算X和Y的乘積並不比小學生的方法更有效。要想改進演算法的計算複雜性，必須減少乘法次數。為此我們把XY寫成另一種形式：
XY=AC2^n+(((A-B)(D-C)+AC+BD)2^(n/2)+BD （2）雖然，式（2）看起來比式（1）複雜些，但它僅需做3次n/2位整數的乘法（AC，BD和（A-B）（D-C）），6次加、減法和2次移位。由此可得：
T(n) = O(1) n=1
3T(n/2)+O(n) n>1
T(n)=O(nlog3) =O(n1.59)
程式碼實現
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拓展思考
1、如果將一個大整數分成3段或4段做乘法，計算複雜性會發生會麼變化呢?是否優於分成2段做的乘法？這個問題請大家自己考慮。
分的段數越多, 效率越低. 極端情況, 直接按位計算,相當於分為N段, 就回到了這個文章開始提出的原始演算法了. (這個似乎與前文矛盾了，但是個人覺得這種解釋是有道理的。)
快速傅立葉變換
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