上篇文章已經說得很詳細了，這邊文章作為補充。

首先是一個巨集觀的例子：

相信大家都看過油畫。 對於特別巨幅的油畫， 不知道有沒有過體會， 油畫是隻可遠觀而不可褻玩？ 當你在足夠遠的距離觀察油畫時， 油畫所表達的內容是有層次且內容豐富的， 但是當你靠近油畫甚至貼在油畫上看時， 你只能看到一個個的小色塊， 而此時這些小色塊此時變成毫無意義的無規則排列。 我們假設油畫中的每個小色塊都對應某一訊號中的某個瞬時時間，那麼無數個小色塊就拼湊成了整幅畫， 相當於無數個瞬時時間片段組成了整個訊號。那麼，當我們想看看在這個訊號的某個時間發生了什麼的時候， 我們不得不試圖靠近這幅畫。

假設一個訊號所包含的全部頻率資訊包含在一副無邊無際的油畫之中， 辣麼， 當你和油畫的距離為無窮遠的時候你能夠毫不費力的看清楚這幅畫的全貌，（相當於傅立葉變換，可獲得此訊號的全部頻率資訊）， 但是你卻無法看清楚這幅畫的細節（無法得知此訊號在某個時刻的瞬時頻率）。 當你慢慢走向這幅畫的時候（給傅立葉變換加窗）， 你走得越近（窗長越短）， 細節越清楚（訊號的時間解析度越來越高）， 也就是每個小色塊都越來越清晰， 但每個色塊所包含的資訊量（頻率資訊）也越來越少，這就是著名的海森堡測不準原理（你永遠無法得知一個訊號之中任一時刻的準確頻率資訊， 即瞬時頻率）， 也就是說你永遠不可能在距離油畫0 cm的位置觀測出油畫所畫的內容。

如果，以上我的假設你都認同的話，辣麼加窗傅立葉變換相當於你選擇了一個固定的距離觀察這幅油畫，當距離近時（窗長減少）， 油畫的細節更加清楚， 但是油畫所表達的資訊量隨之減少。
這時候就有人提出來了，這個問題還不容易嗎？ 油畫在有的地方細節多，我們就離近一點看嘛（增大變換尺度，增加時間解析度）；有的地方細節少，我們就離得稍微遠一點看嘛（減小變化尺度，縮減時間解析度），這樣，在細節和內容的資訊量上都能兼顧，能夠更全面的欣賞這幅油畫，這就是所謂的小波變換啦！其實這個原理非常簡單， 題主可以想象我們看一副大型油畫時，通常都是先離遠點看看全貌， 然而對於一些細節豐富的地方，我們會走近觀察。

最後總結： 傅立葉變換就相當於： 你只能在遠距離觀察油畫； 加窗傅立葉變換相當於： 你只能在固定的距離觀察油畫； 而小波變換相當於，你可以在任意的距離觀察油畫。

作者：兔寶
連結：https://www.zhihu.com/question/22864189/answer/136518602

然後是另外一個解釋，偏重於“為什麼”，而不是“怎麼做”。

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訊號分析已經有一些非常重要的工具了。 傅立葉分析是最著名的一個。 它將時間域的訊號分解為不同頻率的正旋訊號。 另一種思路去分析傅立葉分析就是將時間域的訊號分解為頻率域的訊號。

對於大多數訊號而言， 傅立葉分析絕對是非常有用的，因為頻率分析在大多數情況下都非常重要。 那麼為什麼我們還需要其他分析方法呢?

原因是因為傅立葉分析有一個非常嚴重的缺點。 在將訊號從時間域變換到頻率域去的時候，時間資訊丟失了。 當我們在用傅立葉變化去分析一個具體訊號的時候， 知道哪一個頻率的訊號在哪一個時間點出現的還是非常重要的。

如果一個訊號並不隨著時間變化太多， 那麼我們稱它為平穩訊號。 那麼知道哪一個頻率的訊號在哪一個時間點出現的就不那麼重要了。 可是如果現實生活中我們研究的大多數訊號都是非平穩訊號，他們都許多非常短暫變化的特性： 漂移， 趨勢， 突然變化， 開始和事件。 這些特點對於我們訊號分析的特點， 傅立葉分析並不適合去做這種分析。

短時間傅立葉分析

為了克服這些缺點， Dennis Gabor (1946) 採用的傅立葉分析去分析一小部分時間域訊號，這個技術叫做窗化一個訊號，Gabor’s adaption， 稱為短時間傅立葉轉換， 將一個訊號對映為關於時間和頻率的一個二維函式。

短時間傅立葉轉換是一個時間和頻率合作產生的訊號。它主動提供了一些資訊在時間和頻率上一個訊號產生。當然你可以獲得這些資訊通過一些有限的精度， 這些精度都是通過窗函式來決定的。

然後短時間傅立葉轉換在短時間獲得時間和頻率的資訊是有用的， 缺點是一旦你選擇了特定尺寸的窗函式， 那麼窗函式就對所有的頻率都適用， 許多訊號需要一個更靈活的方式， 我們可以選擇窗的尺寸去決定時間或者頻率

methodology

小波分析

小波分析代表下一個邏輯步驟： 一個窗函式在不同的區域內，小波分析准許用一個長的時間間隔當我們需要更精確的低頻資訊， 以及我們需要一個小的區域當我們需要更高頻率的資訊的時候

下面是一個基於時間對比， 頻率對比， 以及短時間傅立葉分析的對比：

小波可以做什麼呢？

一個最主要的優點是可以做區域性的分析， 換句話說，就是可以分析一個區域性的大訊號。

比如說， 一個正旋訊號有一個區域性的不連續的點， 一個點是如此的小，以至於肉眼都看不到。 這樣的訊號在現實生活中可以很容易的產生了， 可能是能量傳輸斷點，或者噪聲開關。

一個傅立葉變換來分析這個訊號，並沒有什麼特別的， 可以用小波分析來分析這個訊號，就可以看出時間域的奇異點

小波分析可以做一些其他分析方法不太能實現的功能， 比如變化趨勢， 分解點， 更高維上的不連續點，自相似點。 更深遠一點說，因為他提供了一個不同分析訊號的視角

什麼是小波分析 ？

現在我們已經知道了小波分析是很有用的， 那麼什麼是小波分析呢？ 以及什麼是小波呢 ？

小波就是在有限距離上有均值為零值點的波形。

相比於正旋波， 這是傅立葉變化的基， 正旋波沒有有限的距離， 他們從無窮小擴充套件到無窮大。 正旋波是光滑的和可以預測的， 小波是不規律的和非對稱的。

傅立葉分析將一個訊號分解為無數個不同頻率的正旋訊號的組合。 類似的， 小波分析將一個原始訊號分解為移位過和壓縮過的母小波的組合。

連續小波變化

從數學角度來說， 傅立葉分析可以被傅立葉變換表示出來：

這是將時間域的f(t) 和一個複雜的指數作一個倍乘（ 回想以下從尤拉法則， 一個複雜的指數形式可以分解為 實部和虛部 的正旋波形式：　）

傅立葉變換的結果就是得到傅立葉係數，　這是不同頻率的正旋波在正交分解原始訊號得到的對應分量。（如圖）

類似的，　小波分解，就是定義為原始時間域上的訊號通過正交分解為不同轉移過的，縮放過的小波組合。

這個變換的結果就是得到許多小波係數, C這些小波關於範圍和位置的函式。

倍乘每個係數和對應的縮放過的和位移的小波，組成了這些原始的小波的組合

我們已經知道小波分析可以得到一系列關於時間－範圍的小波訊號的組合。

下面我們看一下什麼是縮放。

縮放一個小波意味著伸展和壓縮小波。

假設縮放參數為a, 拿正旋波來說：

那麼這個縮放對於小波也是適用的。縮放因子越小，　小波越被壓縮。

位移：

位移一個小波，意味著在小波峰值住作一個延時

五個簡單的步驟的做連續小波變換：

連續小波變換

１． 取一個小波，　把它和訊號的開始點做比較。

２． 計算一個數，c, 代表小波和這個區域內的訊號有多接近，　c越近，相似度越

高。這完全取決於你選擇的小波形狀

３． 位移小波，　重複１２　，直到你完全運算完整個訊號。

４．　縮小或者伸展真整個小波，　重複１，２，３

5． 重複整個操作直到１，２，３，４　全部做完