學習劉汝佳老師的《演算法競賽》總結

最大連續和問題
給出一個長度為n的序列A1,A2,……,An,要求找到1≤i≤j≤n,使得Ai+Ai+1+……+Aj儘量大。
一.使用列舉，程式如下：

tot = 0;
    best = A[1]; //初始最大值
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = i; j <= n; j++) {  //檢查連續子序列A[i],……,A[j]
            int sum = 0;
            for (int k = i; k <= j; k++) {
                sum
 
 += A[k];       //累加元素和
                tot++;
            }
            if (sum > best)
                best = sum;       //更新最大值
        }

設輸入規模為n時，加法操作的次數為T(n),則

二.下面試著優化一下這個演算法。
設Si=A1+A2+……+Ai,則Ai+Ai+1+……+Aj=Sj-Si−1，其直觀含義是”連續子序列之和等於兩個字首和之差“。這樣可以省略最內層的迴圈。

S[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        S[i] = S[i - 1] + A[i];         //遞推字首和S
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = i; j <= n; j++)
            best = max(best, S[j] - S[i - 1]);  //更新最大值

類似的方法可以分析出：

三.分治法
分治演算法一般分為以下三個步驟：
劃分問題

int maxsum(int *A, int x, int y) {     //返回陣列在左閉右開區間[x,y)中的最大連續和
    int V, L, R, maxs;
    if (y - x == 1)
        return A[x];
    int m = x + (y - x) / 2;     //分治第一步：劃分成[x,m)和[m,y)
    maxs = max(maxsum(A, x, m), maxsum(A, m, y));    //分治第二步：遞迴求解
    V = 0;
    L = A[m - 1];                 //分治第三步：合併（1）——從分界點開始往左的最大連續和L
    for (int i = m - 1; i >= x; i--)
        L = max(L, V += A[i]);
    V = 0;
    R = A[m];                   //分治第三步：合併（2）——從分界點開始往右的最大連續和R
    for (int i = m; i <= y; i++)
        R = max(R, V += A[i]);
    return max(maxs, L + R);         //把子問題的解與L + R比較
}

遞迴方程T(n)=2T(n/2)+O(n),T(1)=1,解為T(n)=O(n log n).

四.演算法分析結果
表-運算量隨著規模的變化

借鑑此表，在演算法競賽中，一個指明n≤8的題目可能n!的演算法已經足夠，n≤20的題目需要用到2n 的演算法，而n≤300的題目可能必須用至少n3的多項式時間演算法了。