在數學中，某個序列的母函式(Generating function，又稱生成函式)是一種形式冪級數，其每一項的係數可以提供關於這個序列的資訊。使用母函式解決問題的方法稱為母函式方法。

母函式可分為很多種，包括普通母函式、指數母函式、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數。對每個序列都可以寫出以上每個型別的一個母函式。構造母函式的目的一般是為了解決某個特定的問題，因此選用何種母函式視乎序列本身的特性和問題的型別。

這裡先給出兩句話，不懂的可以等看完這篇文章再回過頭來看：

1.“把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來”

2.“母函式的思想很簡單 — 就是把離散數列和冪級數一 一對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來確定離散數列的構造. “

我們首先來看下這個多項式乘法：

母函式圖(1)

由此可以看出:

1.x的係數是a1,a2,…an 的單個組合的全體。

2. x^2的係數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。

………

n. x^n的係數是a1,a2,….an的n個組合的全體（只有1個）。

進一步得到：

母函式圖(2)

母函式的定義

對於序列a₀，a₁，a₂，…構造一函式：

母函式圖(3)

稱函式G(x)是序列a₀，a₁，a₂，…的母函式。

這裡先給出2個例子，等會再結合題目分析：

第一種：

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函式來解決這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函式1+1*x^1表示，

1個2克的砝碼可以用函式1+1*x^2表示，

1個3克的砝碼可以用函式1+1*x^3表示，

1個4克的砝碼可以用函式1+1*x^4表示，

上面這四個式子懂嗎？

我們拿1+x^2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量！初始狀態時，這裡就是一個質量為2的砝碼。

那麼前面的1表示什麼？按照上面的理解，1其實應該寫為：1*x^0,即1代表重量為2的砝碼數量為0個。

所以這裡1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝碼有兩種狀態，不取或取，不取則為1*x^0，取則為1*x^2

不知道大家理解沒，我們這裡結合前面那句話：

“把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來“

接著討論上面的1+x^2，這裡x前面的係數有什麼意義？

這裡的係數表示狀態數(方案數)

1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面說的不取2克砝碼，此時有1種狀態；或者取2克砝碼，此時也有1種狀態。(分析！)

所以，前面說的那句話的意義大家可以理解了吧？

幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函式的乘積表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

從上面的函式知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）

例如右端有2^x^5 項，即稱出5克的方案有2種：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案數有2種，稱出10克的方案數有1種 。

接著上面，接下來是第二種情況：

第二種：

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是一個，而這裡每種是無限的。

母函式圖(4)

以展開後的x^4為例，其係數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數為4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

這裡再引出兩個概念"整數拆分"和"拆分數"：

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於一個球）。

整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。

現在以上面的第二種情況每種種類個數無限為例，給出模板：

#include <iostream>
using namespace std;
// Author: Tanky Woo
// www.wutianqi.com
const int _max = 10001; 
// c1是儲存各項質量砝碼可以組合的數目
// c2是中間量，儲存每一次的情況
int c1[_max], c2[_max];   
int main()
{	//int n,i,j,k;
	int nNum;   // 
	int i, j, k;

	while(cin >> nNum)
	{
		for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
		{
			c1[i] = 1;
			c2[i] = 0;
		}
		for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
		{

			for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
				for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
				{
					c2[j+k] += c1[j];
				}
				for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
				{
					c1[j] = c2[j];
					c2[j] = 0;
				}
		}
		cout << c1[nNum] << endl;
	}
	return 0;
}

我們來解釋下上面標誌的各個地方：(***********！！！重點！！！***********)

①  、首先對c1初始化，由第一個表示式(1+x+x^²+..x^ⁿ)初始化，把質量從0到n的所有砝碼都初始化為1.

②  、 i從2到n遍歷，這裡i就是指第i個表示式，上面給出的第二種母函式關係式裡，每一個括號括起來的就是一個表示式。

③、j 從0到n遍歷，這裡j就是(前面i個表示式累乘的表示式)裡第j個變數，(這裡感謝一下seagg朋友給我指出的錯誤，大家可以看下留言處的討論)。如(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，j先指示的是1和x的係數，i=2執行完之後變為

（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，這時候j應該指示的是合併後的第一個括號的四個變數的係數。

④ 、 k表示的是第j個指數，所以k每次增i（因為第i個表示式的增量是i）。

⑤  、把c2的值賦給c1,而把c2初始化為0，因為c2每次是從一個表示式中開始的。

咱們趕快趁熱打鐵，來幾道題目：

（相應題目解析均在相應的程式碼裡分析）

這題大家看看簡單不？把上面的模板理解了，這題就是小Case!

看看這題：

要說和前一題的區別，就只需要改2個地方。 在i遍歷表示式時（可以參考我的資料—《母函式詳解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍歷指數時把k+=i變成了k+=i*i; Ok,說來說去還是套模板~~~

這題終於變化了一點，但是萬變不離其中。

大家好好分析下，結合程式碼就會懂了。

還有一些題目，大家有時間自己做做：

HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

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附：

1.在維基百科裡講到了普通母函式、指數母函式、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：

2．Matrix67大牛那有篇文章：什麼是生成函式：

3.大家可以看看杭電的ACM課件的母函式那篇，我這裡的圖片以及一些內容都引至那。

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