題目

寫一個函式，輸入n, 求斐波那契數列的第n項。

遞迴

問題規模為：
T(n)=T(n−1)+T(n−2)
如果我們估計一下，讓 T(n−1)=T(n−2)
那麼T(n)=2T(n−1)
那麼O(n)=2n

簡介而不高效

long long Fibonacci(int n) {
    if (n <= 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

遞推

一次遍歷，複雜度為O(n)
個人覺得是最優，省空間，省時間

long
 
 long Fibonacci(int n) {
    if (n <= 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    long long n2 = 0;
    long long n1 = 1;
    long long n0;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        n0 = n2 + n1;
        n2 = n1;
        n1 = n0;
    }   
    return n0;
}

矩陣乘法

原理就是：

所以下面的實現只寫函式：

Matrix FastPower(const Matrix & m, int n) {
    if (n == 1) {
        return m;
    }
    if (n % 2 == 0) {
        return FastPower(m, n/2) * FastPower(m, n/2);
    } else {
        return FastPower(m, (n - 1)/2) * FastPower(m, (n - 1)/2) * m;
    }
}

Matrix m = Matrix(2
 
, 2); //在此我們輸入 1,1,1,0 初始化這個矩陣
int Fibonacci(int n) {
    if (n <= 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;   
    Matrix m1 = m;
    m1 = FastPower(m1, n-1);
    return m1.get(0, 0); //為f(n)
}


int main() {
    for(int i = 0; i < 10; i ++)
        cout << Fibonacci(i) << endl;

}

（資料型別這裡用int，如果要用大數的話，可以自己換資料型別）